बेल वक्र का एक परिचय

एक सामान्य वितरण को सामान्यतः घंटी वक्र के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के वक्र पूरे दिखते हैं आंकड़े और असली दुनिया।

उदाहरण के लिए, मैं अपनी किसी भी कक्षा में परीक्षा देने के बाद एक चीज जो मुझे करना पसंद करता है, वह है सभी अंकों का ग्राफ बनाना। मैं आमतौर पर 60-69, 70-79, और 80-89 जैसे 10 पॉइंट रेंज लिखता हूं, फिर उस रेंज में प्रत्येक टेस्ट स्कोर के लिए एक टैली मार्क लगाता हूं। लगभग हर बार जब मैं ऐसा करता हूं, एक परिचित आकृति उभरती है। कुछ छात्रों बहुत अच्छा करते हैं और कुछ बहुत खराब करते हैं। अंत में स्कोर का एक गुच्छा मतलब स्कोर के आसपास clumped। अलग-अलग परीक्षणों के परिणामस्वरूप विभिन्न साधन और मानक विचलन हो सकते हैं, लेकिन ग्राफ का आकार लगभग हमेशा समान होता है। इस आकृति को सामान्यतः बेल वक्र कहा जाता है।

इसे बेल कर्व क्यों कहते हैं? घंटी की वक्र को इसका नाम काफी सरलता से मिलता है क्योंकि इसका आकार घंटी जैसा दिखता है। ये वक्र आँकड़ों के अध्ययन में दिखाई देते हैं, और उनके महत्व को अधिक नहीं किया जा सकता है।

तकनीकी होने के लिए, घंटी के प्रकार जो हम आंकड़ों में सबसे अधिक परवाह करते हैं, वास्तव में सामान्य कहलाते हैं

लेकिन हमें वास्तव में सूत्र के बारे में बहुत अधिक चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। केवल दो संख्याएँ जो हम इसके बारे में परवाह करते हैं वे हैं औसत और मानक विचलन। डेटा के दिए गए सेट के लिए घंटी वक्र में मध्य में स्थित केंद्र होता है। यह वह जगह है जहां वक्र या "घंटी के शीर्ष" का उच्चतम बिंदु स्थित है। एक डेटा सेट मानक विचलन यह निर्धारित करता है कि हमारा बेल वक्र कितना फैला हुआ है। मानक विचलन जितना बड़ा होता है, वक्र उतना ही अधिक फैलता है।

घंटी घटता की कई विशेषताएं हैं जो महत्वपूर्ण हैं और उन्हें आंकड़ों में अन्य घटता से अलग करती है:

• एक घंटी वक्र में एक मोड होता है, जो माध्य और माध्यिका के साथ मेल खाता है। यह वक्र का केंद्र है जहां यह अपने उच्चतम स्तर पर है।
• एक बेल वक्र सममित है। यदि यह इस दौरान एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ मुड़ा हुआ था, तो दोनों हिस्सों को पूरी तरह से मेल खाएगा क्योंकि वे एक दूसरे के दर्पण चित्र हैं।
• एक घंटी वक्र 68-95-99.7 नियम का पालन करता है, जो अनुमानित गणना करने के लिए एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है:
  • सभी डेटा का लगभग 68% माध्य के एक मानक विचलन के भीतर है।
  • सभी डेटा का लगभग 95% मतलब के दो मानक विचलन के भीतर है।
  • लगभग 99.7% डेटा माध्य के तीन मानक विचलन के भीतर है।

यदि हम जानते हैं कि एक घंटी वक्र हमारे डेटा को मॉडल करता है, तो हम घंटी वक्र की उपरोक्त विशेषताओं का उपयोग काफी कुछ कहने के लिए कर सकते हैं। परीक्षण के उदाहरण पर वापस जाएं, मान लें कि हमारे पास 100 छात्र हैं जिन्होंने 70 के औसत अंक और 10 के मानक विचलन के साथ एक सांख्यिकी परीक्षा ली।

मानक विचलन 10 है। घटाना और मतलब में 10 जोड़ें। यह हमें 60 और 80 देता है। 68-95-99.7 नियम से हम 100 में से लगभग 68% या 68 छात्रों से 60 और 80 के बीच स्कोर की उम्मीद करेंगे।

दो बार मानक विचलन 20 है। यदि हम घटाते हैं और 20 को जोड़ते हैं, तो हमारे पास 50 और 90 हैं। हम उम्मीद करेंगे कि 100 में से 95% या 95 छात्र टेस्ट में 50 से 90 के बीच स्कोर करें।

इसी तरह की गणना हमें बताती है कि प्रभावी रूप से सभी ने टेस्ट में 40 से 100 के बीच स्कोर किया।

घंटी घटता के लिए कई अनुप्रयोग हैं। वे आंकड़ों में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे वास्तविक दुनिया के डेटा की एक विस्तृत विविधता को दर्शाते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, परीक्षा परिणाम एक जगह है जहां वे पॉप अप करते हैं। यहाँ कुछ अन्य हैं:

• उपकरणों के एक टुकड़े की बार-बार माप
• जीव विज्ञान में विशेषताओं का मापन
• लगभग मौका घटनाओं जैसे कि कई बार सिक्का उछालना
• एक स्कूल जिले में एक विशेष ग्रेड स्तर पर छात्रों की ऊंचाई

हालांकि बेल कर्व के अनगिनत अनुप्रयोग हैं, फिर भी सभी स्थितियों में उपयोग करना उचित नहीं है। कुछ सांख्यिकीय डेटा सेट, जैसे उपकरण विफलता या आय वितरण, अलग-अलग आकार हैं और सममित नहीं हैं। अन्य समय में दो या अधिक मोड हो सकते हैं, जैसे कि जब कई छात्र बहुत अच्छा करते हैं और कई एक परीक्षण में बहुत खराब करते हैं। इन अनुप्रयोगों को अन्य वक्रों के उपयोग की आवश्यकता होती है जो घंटी वक्र की तुलना में अलग-अलग परिभाषित होते हैं। प्रश्न में डेटा का सेट कैसे प्राप्त किया गया था इसके बारे में ज्ञान से यह पता लगाने में मदद मिल सकती है कि डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए घंटी की वक्र का उपयोग किया जाना चाहिए या नहीं।