द्वि-आयामी किनेमैटिक्स: मोशन इन अ प्लेन

यह लेख उन मूलभूत आयामों की रूपरेखा प्रस्तुत करता है जो दो आयामों में वस्तुओं की गति का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक हैं, उन बलों के संबंध में जो त्वरण को शामिल करते हैं। इस तरह की समस्या का एक उदाहरण एक गेंद फेंकना या एक तोप का गोला फेंकना होगा। यह एक परिचित के साथ मानता है एक आयामी कीनेमेटीक्स, क्योंकि यह समान अवधारणाओं को दो-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में विस्तारित करता है।

किनेमैटिक्स में विस्थापन, वेग और त्वरण शामिल हैं जो सभी हैं वेक्टर मात्रा इसके लिए एक परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। इसलिए, दो-आयामी किनेमैटिक्स में एक समस्या शुरू करने के लिए, आपको सबसे पहले परिभाषित करना होगा समन्वय प्रणाली आप उपयोग कर रहे हैं। आम तौर पर यह ए के संदर्भ में होगा एक्स-एक्सीस और ए y-एक्सीस, उन्मुख इसलिए कि गति सकारात्मक दिशा में है, हालांकि कुछ परिस्थितियां हो सकती हैं जहां यह सबसे अच्छा तरीका नहीं है।

ऐसे मामलों में जहां गुरुत्वाकर्षण पर विचार किया जा रहा है, यह नकारात्मक में गुरुत्वाकर्षण की दिशा बनाने की प्रथा है-y दिशा। यह एक ऐसा सम्मेलन है जो आम तौर पर समस्या को सरल करता है, हालांकि यदि आप वास्तव में वांछित हैं, तो एक अलग अभिविन्यास के साथ गणना करना संभव होगा।

स्थिति वेक्टर आर एक वेक्टर है जो समन्वय प्रणाली के मूल से सिस्टम में दिए गए बिंदु तक जाता है। स्थिति में परिवर्तन (Δआर, उच्चारण "डेल्टा आर") प्रारंभ बिंदु के बीच का अंतर है (आर₁) समापन बिंदु (आर₂). हम परिभाषित करते हैं औसत गति (v_av) जैसा:

v_av = (आर₂ - आर₁) / (टी₂ - टी₁) = Δआर/Δटी

सीमा को Δ के रूप में लेनाटी दृष्टिकोण 0, हम प्राप्त करते हैं तात्कालिक वेगv. कैलकुलस शब्दों में, यह व्युत्पन्न है आर इसके संबंध में टी, या घआर/डीटी.

जैसे ही समय में अंतर कम होता है, शुरुआत और अंत बिंदु एक साथ करीब आते हैं। की दिशा के बाद से आर के रूप में एक ही दिशा है v, यह स्पष्ट हो जाता है कि पथ के साथ हर बिंदु पर तात्कालिक वेग वेक्टर पथ के लिए स्पर्शरेखा है.

वेक्टर मात्रा का उपयोगी गुण यह है कि उन्हें अपने घटक वैक्टर में विभाजित किया जा सकता है। वेक्टर का व्युत्पन्न इसके घटक व्युत्पन्न का योग है, इसलिए:

v_एक्स = dx/डीटी
v_y = डीवाई/डीटी

वेग वेक्टर का परिमाण पाइथागोरियन प्रमेय द्वारा दिया जाता है:

|v| = v = sqrt (v_एक्स² + v_y²)

इसकी दिशा v उन्मुख है अल्फा डिग्री काउंटर से दक्षिणावर्त एक्स-संपन्न, और निम्नलिखित समीकरण से गणना की जा सकती है:

तन अल्फा = v_y / v_एक्स

त्वरण समय की एक निश्चित अवधि में वेग का परिवर्तन है। उपरोक्त विश्लेषण के समान, हम पाते हैं कि यह, हैv/Δटी. इस की सीमा limit के रूप मेंटी दृष्टिकोण 0 की व्युत्पत्ति देता है v इसके संबंध में टी.

घटकों के संदर्भ में, त्वरण वेक्टर के रूप में लिखा जा सकता है:

ए_एक्स = डीवी_एक्स/डीटी
ए_y = डीवी_y/डीटी

या

ए_एक्स = घ²एक्स/डीटी²
ए_y = घ²y/डीटी²

परिमाण और कोण (के रूप में चिह्नित) बीटा से भेद करना अल्फा) शुद्ध त्वरण वेक्टर की गणना वेग के लिए समान रूप से घटकों के साथ की जाती है।

अक्सर, दो-आयामी कीनेमेटीक्स में प्रासंगिक वैक्टर को अपने में तोड़ना शामिल होता है एक्स- तथा y-कंप्यूटर, फिर प्रत्येक घटकों का विश्लेषण करते हुए जैसे कि वे एक-आयामी मामले थे। एक बार जब यह विश्लेषण पूरा हो जाता है, तो परिणामी दो-आयामी वेग और / या त्वरण वैक्टर प्राप्त करने के लिए वेग और / या त्वरण के घटकों को फिर से एक साथ जोड़ दिया जाता है।

उपरोक्त समीकरणों को तीन आयामों में जोड़कर गति के लिए विस्तारित किया जा सकता है z-विश्लेषण के लिए असंगत। यह आमतौर पर काफी सहज है, हालांकि यह सुनिश्चित करने में कुछ सावधानी बरती जानी चाहिए कि यह उचित प्रारूप में किया गया है, विशेष रूप से वेक्टर के अभिविन्यास के कोण की गणना के संबंध में।

द्वारा संपादित ऐनी मैरी हेल्मेनस्टाइन, पीएचडी।