तरंगों के गणितीय गुण

भौतिक तरंगें, या यांत्रिक तरंगें, एक माध्यम के कंपन के माध्यम से, यह एक स्ट्रिंग, पृथ्वी की पपड़ी, या गैसों और तरल पदार्थों के कण हो। तरंगों में गणितीय गुण होते हैं जिन्हें तरंग की गति को समझने के लिए विश्लेषण किया जा सकता है। यह लेख इन सामान्य तरंग गुणों का परिचय देता है, बजाय इसके कि उन्हें भौतिकी में विशिष्ट परिस्थितियों में कैसे लागू किया जाए।

यांत्रिक तरंगें दो प्रकार की होती हैं।

ए ऐसा है कि माध्यम के विस्थापन लंबवत (अनुप्रस्थ) हैं जो माध्यम के साथ तरंग की यात्रा की दिशा में हैं। आवधिक गति में एक स्ट्रिंग को हिलाना, इसलिए लहरें इसके साथ चलती हैं, एक अनुप्रस्थ लहर है, जैसे समुद्र में लहरें हैं।

ए लोंगिट्युडिनल वेव ऐसा है कि माध्यम के विस्थापन आगे और पीछे उसी दिशा में होते हैं जैसे कि लहर। ध्वनि तरंगें, जहां हवा के कणों को यात्रा की दिशा में धकेल दिया जाता है, एक अनुदैर्ध्य लहर का एक उदाहरण है।

भले ही इस लेख में चर्चा की गई तरंगों को एक माध्यम में यात्रा करने के लिए संदर्भित किया जाएगा, यहां प्रस्तुत गणित का उपयोग गैर-यांत्रिक तरंगों के गुणों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय विकिरण रिक्त स्थान के माध्यम से यात्रा करने में सक्षम है, लेकिन फिर भी, अन्य तरंगों के समान गणितीय गुण हैं। उदाहरण के लिए,

1. लहरों को एक संतुलन राज्य के आसपास के माध्यम में एक अशांति के रूप में देखा जा सकता है, जो आमतौर पर आराम पर है। इस गड़बड़ी की ऊर्जा तरंग की गति का कारण बनती है। पानी का एक पूल संतुलन में होता है जब कोई लहर नहीं होती है, लेकिन जैसे ही एक पत्थर इसमें फेंका जाता है, कणों का संतुलन गड़बड़ा जाता है और लहर गति शुरू होती है।
2. लहर की गड़बड़ी यात्रा करती है, या propogates, एक निश्चित गति के साथ, कहा जाता है लहर की गति (v).
3. लहरें ऊर्जा का परिवहन करती हैं, लेकिन कोई बात नहीं। माध्यम स्वयं यात्रा नहीं करता है; अलग-अलग कणों को संतुलन स्थिति के चारों ओर आगे-पीछे या ऊपर-नीचे गति से गुजरना पड़ता है।

गणितीय रूप से तरंग गति का वर्णन करने के लिए, हम एक की अवधारणा का उल्लेख करते हैं तरंग क्रिया, जो किसी भी समय माध्यम में एक कण की स्थिति का वर्णन करता है। लहर कार्यों का सबसे बुनियादी साइन लहर, या साइनसोइडल तरंग है, जो कि ए आवधिक लहर (यानी दोहराव गति के साथ एक लहर)।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि लहर फ़ंक्शन भौतिक तरंग को चित्रित नहीं करता है, बल्कि यह संतुलन स्थिति के बारे में विस्थापन का एक ग्राफ है। यह एक भ्रामक अवधारणा हो सकती है, लेकिन उपयोगी बात यह है कि हम अधिकांश आवधिक को चित्रित करने के लिए एक साइनसोइडल तरंग का उपयोग कर सकते हैं गति जैसे कि एक सर्कल में घूमना या एक पेंडुलम को झूलना, जो वास्तविक रूप से देखने पर लहर की तरह जरूरी नहीं लगते हैं प्रस्ताव।

• लहर की गति (v) - तरंग के प्रसार की गति
• आयाम (ए) - मीटर की एसआई इकाइयों में, संतुलन से विस्थापन की अधिकतम परिमाण। सामान्य तौर पर, यह तरंग के संतुलन मध्य बिंदु से इसकी अधिकतम विस्थापन तक की दूरी है, या यह लहर के कुल विस्थापन का आधा है।
• अवधि (टी) - सेकंड की एसआई इकाइयों में (हालांकि इसे "प्रति चक्र" सेकंड के रूप में संदर्भित किया जा सकता है) एक लहर चक्र (दो दालों, या शिखा से शिखा या गर्त तक) के लिए समय है।
• आवृत्ति (च) - समय की एक इकाई में चक्रों की संख्या। आवृत्ति की SI इकाई हर्ट्ज (Hz) और है

  1 हर्ट्ज = 1 चक्र / एस = 1 एस^-1

• कोणीय आवृत्ति (ω) - 2 हैπ आवृत्ति प्रति सेकंड रेडियन की एसआई इकाइयों में आवृत्ति।
• तरंग दैर्ध्य (λ) - तरंग में क्रमिक दोहराव पर इसी स्थिति में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी, इसलिए (उदाहरण के लिए) एक शिखा या गर्त से अगले तक, एस आई यूनिट मीटर के।
• लहर संख्या (क) - भी कहा जाता है प्रसार निरंतर, इस उपयोगी मात्रा को 2 के रूप में परिभाषित किया गया है π तरंग दैर्ध्य द्वारा विभाजित, इसलिए एसआई इकाइयां प्रति मीटर रेडियन हैं।
• पल्स - एक अर्ध-तरंगदैर्ध्य, वापस संतुलन से

उपरोक्त मात्राओं को परिभाषित करने में कुछ उपयोगी समीकरण हैं:

v = λ / टी = λ च

ω = 2 π च = 2 π/टी

टी = 1 / च = 2 π/ω

क = 2π/ω

ω = वीके

लहर पर एक बिंदु की ऊर्ध्वाधर स्थिति, y, क्षैतिज स्थिति के एक कार्य के रूप में पाया जा सकता है, एक्स, और समय, टी, जब हम इसे देखते हैं। हम इस काम को करने के लिए दयालु गणितज्ञों का धन्यवाद करते हैं, और लहर गति का वर्णन करने के लिए निम्नलिखित उपयोगी समीकरण प्राप्त करते हैं:

y(एक्स, टी) = ए पाप ω(टी - एक्स/v) = ए पाप २π च(टी - एक्स/v)

y(एक्स, टी) = ए पाप २π(टी/टी - एक्स/v)

y (एक्स, टी) = ए पाप (ω टी - KX)

तरंग फ़ंक्शन की एक अंतिम विशेषता यह है कि आवेदन करना गणना दूसरी व्युत्पन्न पैदावार लेने के लिए लहर समीकरण, जो एक पेचीदा और कभी-कभी उपयोगी उत्पाद है (जो, एक बार फिर, हम गणितज्ञों को धन्यवाद देंगे और इसे साबित किए बिना स्वीकार करेंगे:)

घ²y / dx² = (1 / v²) घ²y / डीटी²

का दूसरा व्युत्पन्न y इसके संबंध में एक्स के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है y इसके संबंध में टी लहर की गति से विभाजित। इस समीकरण की प्रमुख उपयोगिता यह है कि जब भी ऐसा होता है, हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y लहर की गति के साथ तरंग के रूप में कार्य करता है v और इसीलिए, लहर फ़ंक्शन का उपयोग करके स्थिति का वर्णन किया जा सकता है.