पावर सेट क्या है

में एक सवाल समुच्चय सिद्धान्त यह है कि क्या एक सेट दूसरे सेट का सबसेट है। का एक उपसमूह ए एक सेट है जो सेट से कुछ तत्वों का उपयोग करके बनता है ए. के क्रम में बी का सबसेट होना एके हर तत्व बी का एक तत्व भी होना चाहिए ए.

हर सेट में कई सबसेट होते हैं। कभी-कभी यह संभव है कि सभी सबसेट को जानना वांछनीय है। पावर सेट के रूप में जाना जाने वाला निर्माण इस प्रयास में मदद करता है। सेट का पावर सेट ए तत्वों के साथ एक सेट है जो सेट भी हैं। यह पावर सेट किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट को शामिल करके बनाया गया है ए.

हम पावर सेट के दो उदाहरणों पर विचार करेंगे। पहले के लिए, अगर हम सेट के साथ शुरू करते हैं ए = {1, 2, 3}, तो शक्ति सेट क्या है? हम सभी के सबसेट को सूचीबद्ध करके जारी रखते हैं ए.

• खाली सेट का सबसेट है ए. वास्तव में खाली सेट हर सेट का एक सबसेट है. यह एकमात्र उपसमुच्चय है जिसमें कोई तत्व नहीं है ए.
• सेट {1}, {2}, {3} के केवल सबसेट हैं ए एक तत्व के साथ।
• सेट {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} के केवल सबसेट हैं ए दो तत्वों के साथ।
• हर सेट अपने आप में एक सबसेट है। इस प्रकार ए = {1, 2, 3} का एक सबसेट है ए. यह तीन तत्वों के साथ एकमात्र सबसेट है।

दूसरे उदाहरण के लिए, हम बिजली के सेट पर विचार करेंगे बी ={1, 2, 3, 4}. जो हमने ऊपर कहा था, बहुत कुछ वैसा ही है, यदि अब समान नहीं है:

• खाली सेट और बी दोनों सबसेट हैं।
• चूंकि चार तत्व हैं बी, एक तत्व के साथ चार सबसेट होते हैं: {1}, {2}, {3}, {4}।
• चूंकि तीन तत्वों में से प्रत्येक सबसेट को एक तत्व को समाप्त करके बनाया जा सकता है बी और चार तत्व हैं, चार ऐसे उपसमूह हैं: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}।
• यह दो तत्वों के साथ सबसेट निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। हम 4 के सेट से चुने गए दो तत्वों का सबसेट बना रहे हैं। यह एक संयोजन है और वहाँ हैं सी (4, 2) = इन संयोजनों का 6। उपसमूह हैं: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}।

दो तरीके हैं जो एक सेट का पावर सेट है ए निरूपित किया जाता है। इसे निरूपित करने का एक तरीका प्रतीक का उपयोग है पी( ए), जहां कभी-कभी यह पत्र पी एक स्टाइल स्क्रिप्ट के साथ लिखा गया है। के पावर सेट के लिए एक और नोटेशन ए 2 है^ए. इस नोटेशन का उपयोग पावर सेट में तत्वों की संख्या से बिजली सेट को जोड़ने के लिए किया जाता है।

हम इस अंकन की आगे जांच करेंगे। अगर ए के साथ एक परिमित सेट है n तत्वों, तो इसकी शक्ति सेट P (A) ) 2 होगाⁿ तत्वों। यदि हम एक अनंत सेट के साथ काम कर रहे हैं, तो यह 2 के बारे में सोचने में मददगार नहीं हैⁿ तत्वों। हालांकि, कैंटर का एक प्रमेय हमें बताता है कि एक सेट और उसके पावर सेट की कार्डिनैलिटी समान नहीं हो सकती है।

यह गणित में एक खुला प्रश्न था कि क्या एक अनगिनत अनंत सेट की शक्ति का कार्डिनल वास्तविकताओं की कार्डिनैलिटी से मेल खाता है। इस प्रश्न का समाधान काफी तकनीकी है, लेकिन कहते हैं कि हम कार्डिनैलिटी की इस पहचान को बनाने के लिए चुन सकते हैं या नहीं। दोनों एक सुसंगत गणितीय सिद्धांत का नेतृत्व करते हैं।

संभाव्यता का विषय सेट सिद्धांत पर आधारित है। सार्वभौमिक सेट और सबसेट का उल्लेख करने के बजाय, हम इसके बारे में बात करते हैं नमूना स्थान तथा आयोजन. कभी-कभी एक नमूना स्थान के साथ काम करते समय, हम उस नमूना स्थान की घटनाओं को निर्धारित करना चाहते हैं। नमूना स्थान का पावर सेट जो हमारे पास है वह हमें सभी संभावित घटनाओं को देगा।