घातीय वितरण का तिरछापन क्या है?

सामान्य मापदंडों के लिये संभावना वितरण माध्य और मानक विचलन शामिल करें। माध्य केंद्र का माप देता है और मानक विचलन बताता है कि वितरण कितना फैला हुआ है। इन प्रसिद्ध मापदंडों के अलावा, ऐसे अन्य हैं जो प्रसार या केंद्र के अलावा अन्य विशेषताओं पर ध्यान आकर्षित करते हैं। ऐसा ही एक माप है तिरछापन. तिरछापन वितरण के विषमता के लिए संख्यात्मक मान को संलग्न करने का एक तरीका देता है।

एक महत्वपूर्ण वितरण जिसे हम जांचेंगे वह घातीय वितरण है। हम देखेंगे कि यह कैसे साबित किया जाए कि घातांक वितरण की विषमता 2 है।

हम एक घातांक वितरण के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को बताते हुए शुरू करते हैं। इन वितरणों में प्रत्येक का एक पैरामीटर है, जो संबंधित से पैरामीटर से संबंधित है पॉइसन प्रक्रिया. हम इस वितरण को EXP (ए) के रूप में दर्शाते हैं, जहां ए पैरामीटर है। इस वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य है:

च(एक्स) = इ^{-एक्स/ए}/ ए, जहां एक्स नॉनवेज है।

यहाँ इ गणितीय है लगातार इ यह लगभग 2.718281828 है। घातांक वितरण एक्सप (ए) के माध्य और मानक विचलन दोनों पैरामीटर ए से संबंधित हैं। वास्तव में, माध्य और मानक विचलन दोनों ए के बराबर हैं।

मीन के बारे में तीसरे क्षण से संबंधित एक अभिव्यक्ति द्वारा तिरछापन को परिभाषित किया गया है। यह अभिव्यक्ति अपेक्षित मूल्य है:

ई [(एक्स - μ)³/σ³] = (ई [एक्स]³] - 3μ ई [एक्स²] + 3μ²ई [एक्स] - μ³)/σ³ = (ई [एक्स]³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

हम μ और replace को A से प्रतिस्थापित करते हैं, और इसका परिणाम यह है कि तिरछा E [X है³] / ए³ – 4.

जो बाकी है वह तीसरे की गणना करना है पल उत्पत्ति के बारे में। इसके लिए हमें निम्नलिखित को एकीकृत करने की आवश्यकता है:

∫^∞₀एक्स³च(एक्स) dएक्स.

इस अभिन्नता में इसकी एक सीमा के लिए एक अनंतता है। इस प्रकार इसका मूल्यांकन एक प्रकार मैं अनुचित अभिन्न के रूप में किया जा सकता है। हमें यह भी निर्धारित करना होगा कि किस एकीकरण तकनीक का उपयोग करना है। चूंकि फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए एक बहुपद और घातीय फ़ंक्शन का उत्पाद है, हमें इसका उपयोग करने की आवश्यकता होगी भागों द्वारा एकीकरण. यह एकीकरण तकनीक कई बार लागू होती है। अंतिम परिणाम यह है कि:

ई [X³] = 6 ए³

फिर हम तिरछेपन के लिए अपने पिछले समीकरण के साथ इसे जोड़ते हैं। हम देखते हैं कि तिरछा 6 - 4 = 2 है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि परिणाम विशिष्ट घातीय वितरण से स्वतंत्र है जो हम शुरू करते हैं। घातांक वितरण की विषमता पैरामीटर ए के मूल्य पर निर्भर नहीं करती है।

इसके अलावा, हम देखते हैं कि परिणाम एक सकारात्मक तिरछापन है। इसका मतलब है कि वितरण दाईं ओर तिरछा है। यह कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए क्योंकि हम संभावना घनत्व फ़ंक्शन के ग्राफ के आकार के बारे में सोचते हैं। इस तरह के सभी वितरणों में 1 // थीटा और एक पूंछ होती है, जो चर के उच्च मूल्यों के अनुरूप ग्राफ के सबसे दाईं ओर जाती है एक्स.

बेशक, हमें यह भी उल्लेख करना चाहिए कि तिरछा गणना करने का एक और तरीका है। हम घातीय वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। की पहली व्युत्पन्न पल उत्पन्न समारोह 0 पर मूल्यांकन हमें E [X] देता है। इसी तरह, जब 0 पर मूल्यांकन किया जाता है, तो यह पल उत्पन्न करने वाला तीसरा व्युत्पन्न हमें E (X) देता है³].