एक द्विपद वितरण के सामान्य अनुमोदन का उदाहरण

द्विपद वितरण में शामिल है a अलग अनियमित चर। एक द्विपद सेटिंग में संभावनाएं एक द्विपदीय गुणांक के सूत्र का उपयोग करके सीधे तरीके से गणना की जा सकती है। सिद्धांत रूप में, यह एक आसान गणना है, व्यवहार में यह काफी थकाऊ या कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव हो सकता है द्विपद संभावनाओं की गणना करें. इन मुद्दों को एक का उपयोग करने के बजाय किनारे कर दिया जा सकता है सामान्य वितरणएक द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए. हम देखेंगे कि गणना के चरणों के माध्यम से यह कैसे करना है।

पहले, हमें यह निर्धारित करना चाहिए कि क्या सामान्य सन्निकटन का उपयोग करना उचित है। सब नही द्विपद वितरण एक ही है। कुछ पर्याप्त प्रदर्शित करते हैं तिरछापन कि हम एक सामान्य सन्निकटन का उपयोग नहीं कर सकते। यह देखने के लिए जांच करें कि क्या सामान्य सन्निकटन का उपयोग किया जाना चाहिए, हमें इसके मूल्य को देखने की आवश्यकता है पी, जो सफलता की संभावना है, और n, जो हमारी टिप्पणियों की संख्या है द्विपद चर.

सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने के लिए, हम दोनों पर विचार करते हैं एनपी तथा n( 1 - पी ). यदि ये दोनों संख्या 10 से अधिक या इसके बराबर हैं, तो हम सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने में उचित हैं। यह अंगूठे का एक सामान्य नियम है, और आम तौर पर इसका मूल्य बड़ा होता है

हम एक सामान्य द्वैधता से प्राप्त होने वाली सटीक द्विपद संभावना की तुलना करेंगे। हम 20 सिक्कों की टॉसिंग पर विचार करते हैं और इस संभावना को जानना चाहते हैं कि पांच सिक्के या उससे कम थे। अगर एक्स प्रमुखों की संख्या है, फिर हम मूल्य खोजना चाहते हैं:

पी (एक्स = 0) + P (एक्स = 1) + पी (एक्स = 2) + पी (एक्स = 3) + पी (एक्स = 4) + पी (एक्स = 5).

द्विपद सूत्र का उपयोग इन छह संभावनाओं में से प्रत्येक के लिए हमें पता चलता है कि संभावना 2.0695% है। अब हम देखेंगे कि हमारा सामान्य सन्निकटन इस मूल्य के कितना निकट होगा।

शर्तों की जाँच करते हुए, हम देखते हैं कि दोनों एनपी तथा एनपी(1 - पी) 10 के बराबर हैं। इससे पता चलता है कि हम इस मामले में सामान्य सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं। हम सामान्य वितरण का उपयोग करेंगे एनपी = 20 (0.5) = 10 और मानक विचलन (20 (0.5) (0.5))^0.5 = 2.236.

संभावना निर्धारित करने के लिए कि एक्स 5 से कम या उसके बराबर है जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है zसामान्य वितरण में 5 का उपयोग करें जो हम उपयोग कर रहे हैं। इस प्रकार z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. की एक तालिका से परामर्श करके z-कभी हम देखते हैं कि संभावना है कि z -2.236 से कम या बराबर है, जो 1.267% है। यह वास्तविक संभावना से अलग है, लेकिन 0.8% के भीतर है।

हमारे अनुमान को बेहतर बनाने के लिए, एक निरंतरता सुधार कारक पेश करना उचित है। यह प्रयोग किया जाता है क्योंकि ए सामान्य वितरण है निरंतर जहांकि द्विपद वितरण असतत है। एक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए, एक संभावना हिस्टोग्राम के लिए एक्स = 5 में एक बार शामिल होगा जो 4.5 से 5.5 तक जाता है और 5 पर केंद्रित होता है।

इसका मतलब यह है कि उपरोक्त उदाहरण के लिए, संभावना है कि एक्स एक द्विपदीय चर के लिए 5 से कम या उसके बराबर है, इस संभावना का अनुमान लगाया जाना चाहिए कि एक्स निरंतर सामान्य चर के लिए 5.5 से कम या बराबर है। इस प्रकार z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. संभावना है कि z