शून्य कारक एक समान क्यों है?

शून्य मानदंड एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जिसमें किसी भी मान के साथ सेट किए गए डेटा को व्यवस्थित करने के तरीके हैं, जो एक के बराबर है। सामान्य तौर पर, कारख़ाने का एक संख्या एक आशुलिपि अभिव्यक्ति लिखने का एक छोटा तरीका है जिसमें संख्या प्रत्येक संख्या से कई गुना कम लेकिन शून्य से अधिक होती है। 4! = 24, उदाहरण के लिए, 4 x 3 x 2 x 1 = 24 लिखने के समान है, लेकिन एक समान समीकरण को व्यक्त करने के लिए भाज्य संख्या (चार) के दाईं ओर एक विस्मयादिबोधक चिह्न का उपयोग करता है।

इन उदाहरणों से यह बहुत स्पष्ट है कि किसी भी पूरी संख्या की वास्तविकता की गणना कैसे की जाए या इससे अधिक हो एक के बराबर, लेकिन शून्य नियम का मूल्य गणितीय नियम के बावजूद क्यों शून्य से गुणा किया जाता है?

भाज्य की परिभाषा में कहा गया है कि 0! = 1. यह आम तौर पर लोगों को पहली बार भ्रमित करता है कि वे इस समीकरण को देखते हैं, लेकिन हम नीचे देखेंगे उदाहरण क्यों यह समझ में आता है जब आप शून्य की परिभाषा, क्रमपरिवर्तन और सूत्रों को देखते हैं भाज्य।

शून्य तथ्यात्मक एक के बराबर होने का पहला कारण यह है कि यह वही है जो परिभाषा कहती है कि यह होना चाहिए, जो गणितीय रूप से सही स्पष्टीकरण है (यदि कुछ हद तक असंतोषजनक है)। फिर भी, किसी को यह याद रखना चाहिए कि एक भाज्य की परिभाषा सभी पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर या उससे कम होती है मूल संख्या - दूसरे शब्दों में, एक भाज्य कम से कम या उसके बराबर संख्या के साथ संयोजन की संख्या है नंबर।

क्योंकि शून्य की कोई संख्या इससे कम नहीं है, लेकिन फिर भी अपने आप में एक संख्या है, लेकिन उस डेटा सेट को कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है, इसका एक संभावित संयोजन है: यह नहीं हो सकता। यह अभी भी इसे व्यवस्थित करने के एक तरीके के रूप में गिना जाता है, इसलिए परिभाषा के अनुसार, एक शून्य तथ्य एक के बराबर है, बस 1 के रूप में! एक के बराबर है क्योंकि इस डेटा सेट की केवल एक ही संभव व्यवस्था है।

यह गणितीय रूप से कैसे समझ में आता है, इसकी बेहतर समझ के लिए, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन जैसे तथ्य एक में जानकारी के संभावित आदेशों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं अनुक्रम, जिसे क्रमपरिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है, जो यह समझने में उपयोगी हो सकता है कि भले ही खाली या शून्य सेट में कोई मूल्य नहीं हैं, फिर भी एक तरीका है जो सेट है की व्यवस्था की।

ए परिवर्तन एक सेट में तत्वों का विशिष्ट, विशिष्ट क्रम है। उदाहरण के लिए, सेट {1, 2, 3} के छह क्रमांकन हैं, जिसमें तीन तत्व शामिल हैं, क्योंकि हम इन तत्वों को निम्नलिखित छह तरीकों से लिख सकते हैं:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

हम इस तथ्य को समीकरण 3 के माध्यम से भी बता सकते हैं! = 6, जो क्रमपरिवर्तन के पूर्ण सेट का एक तथ्यात्मक प्रतिनिधित्व है। इसी तरह से, वहाँ 4 हैं! = चार तत्वों और ५ के साथ एक सेट के २४ क्रमोन्नति! = पांच तत्वों के साथ एक सेट के 120 क्रमपरिवर्तन। तो इस तथ्य के बारे में सोचने का एक वैकल्पिक तरीका है n एक प्राकृतिक संख्या हो और कहो कि n! के साथ एक सेट के लिए क्रमपरिवर्तन की संख्या है n तत्वों।

इस तथ्य के बारे में सोचने के तरीके के साथ, आइए कुछ और उदाहरण देखें। एक सेट दो तत्वों के साथ है दो क्रमपरिवर्तन: {ए, बी} को ए, बी या बी, ए के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है। यह 2 से मेल खाती है! = 2. एक तत्व के साथ एक सेट में एक एकल क्रमचय होता है, क्योंकि सेट {1} में तत्व 1 को केवल एक ही तरीके से ऑर्डर किया जा सकता है।

यह हमें शून्य तथ्य में लाता है। शून्य तत्वों वाले सेट को कहा जाता है खाली सेट. शून्य फैक्टरियल का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूछते हैं, "हम कितने तरीकों से बिना तत्वों वाले सेट का ऑर्डर कर सकते हैं?" यहां हमें अपनी सोच को थोड़ा सा फैलाने की जरूरत है। भले ही एक आदेश में कुछ भी नहीं है, लेकिन ऐसा करने का एक तरीका है। इस प्रकार हमारे पास 0 है! = 1.

0 की परिभाषा के लिए एक और कारण! = 1 को उन सूत्रों के साथ करना है जो हम क्रमपरिवर्तन और संयोजन के लिए उपयोग करते हैं। यह स्पष्ट नहीं करता है कि शून्य फैक्टरियल एक क्यों है, लेकिन यह दिखाता है कि सेटिंग 0 क्यों है! = 1 एक अच्छा विचार है।

एक संयोजन एक सेट के तत्वों का एक समूह है, जो आदेश के संबंध में नहीं है। उदाहरण के लिए, सेट {1, 2, 3} पर विचार करें, जिसमें तीनों तत्वों से मिलकर एक संयोजन है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इन तत्वों को कैसे व्यवस्थित करते हैं, हम एक ही संयोजन के साथ समाप्त होते हैं।

हम प्रयोग करते हैं संयोजन के लिए सूत्र तीन तत्वों के संयोजन के साथ एक बार में तीन लिया और देखें कि 1 = सी (3, 3) = 3!/(3! 0!), और अगर हम 0 का इलाज करते हैं! एक अज्ञात मात्रा के रूप में और बीजगणितीय रूप से हल करते हैं, हम देखते हैं कि 3! 0! = 3! और इसलिए 0! = 1.

अन्य कारण हैं कि 0 की परिभाषा क्यों है! = 1 सही है, लेकिन ऊपर दिए गए कारण सबसे सीधे हैं। गणित में समग्र विचार यह है कि जब नए विचारों और परिभाषाओं का निर्माण किया जाता है, तो वे बने रहते हैं अन्य गणित के अनुरूप, और यह ठीक वैसा ही है जैसा कि हम शून्य तथ्य की परिभाषा में देखते हैं एक के बराबर।