डिराक डेल्टा समारोह का परिचय

डिराक डेल्टा फ़ंक्शन एक गणितीय संरचना को दिया गया नाम है जिसका उद्देश्य एक आदर्श बिंदु बिंदु, जैसे कि बिंदु द्रव्यमान या बिंदु आवेश का प्रतिनिधित्व करना है। इसमें क्वांटम यांत्रिकी और शेष के व्यापक अनुप्रयोग हैं क्वांटम भौतिकी, क्योंकि यह आमतौर पर क्वांटम के भीतर उपयोग किया जाता है तरंग क्रिया. डेल्टा फ़ंक्शन को ग्रीक लोअरकेस प्रतीक डेल्टा के साथ दर्शाया गया है, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है: represented (एक्स).

यह प्रतिनिधित्व Dirac डेल्टा फ़ंक्शन को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है ताकि यह 0 के इनपुट मूल्य को छोड़कर हर जगह 0 का मान हो। उस बिंदु पर, यह एक स्पाइक का प्रतिनिधित्व करता है जो असीम रूप से उच्च है। संपूर्ण रेखा पर लिया गया अभिन्न 1 के बराबर है। यदि आपने कैलकुलस का अध्ययन किया है, तो संभवतः आप इस घटना से पहले भाग चुके हैं। ध्यान रखें कि यह एक अवधारणा है जो सामान्य रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में कॉलेज स्तर के अध्ययन के वर्षों के बाद छात्रों को पेश की जाती है।

दूसरे शब्दों में, परिणाम सबसे बुनियादी डेल्टा फ़ंक्शन के लिए निम्न हैं results (एक्स), एक आयामी चर के साथ एक्सकुछ यादृच्छिक इनपुट मूल्यों के लिए:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

आप फ़ंक्शन को एक स्थिर से गुणा करके स्केल कर सकते हैं। पथरी के नियमों के तहत, एक स्थिर मूल्य से गुणा करने से उस निरंतर कारक द्वारा अभिन्न के मूल्य में भी वृद्धि होगी। Δ के अभिन्न अंग के बाद से (एक्स) सभी वास्तविक संख्याओं में 1 है, फिर इसे एक निरंतर से गुणा करना उस निरंतर के बराबर एक नया अभिन्न अंग होगा। इसलिए, उदाहरण के लिए, 27δ (एक्स) 27 की सभी वास्तविक संख्याओं में एक अभिन्न अंग है।

विचार करने के लिए एक और उपयोगी बात यह है कि चूंकि फ़ंक्शन में केवल 0 के इनपुट के लिए एक गैर-शून्य मान है, तो यदि आप देख रहे हैं एक समन्वित ग्रिड जहां आपका बिंदु 0 पर पंक्तिबद्ध नहीं है, इसे फ़ंक्शन इनपुट के अंदर एक अभिव्यक्ति के साथ दर्शाया जा सकता है। इसलिए यदि आप इस विचार का प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं कि कण एक स्थिति में है एक्स = 5, फिर आप डिराक डेल्टा फ़ंक्शन को x (x - 5) = ∞ [δ (5 - 5) = ∞] के रूप में लिखेंगे।

यदि आप एक क्वांटम सिस्टम के भीतर बिंदु कणों की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस फ़ंक्शन का उपयोग करना चाहते हैं, तो आप इसे विभिन्न डायस्ट डेल्टा कार्यों को एक साथ जोड़कर कर सकते हैं। एक ठोस उदाहरण के लिए, x = 5 और x = 8 पर बिंदुओं के साथ एक फ़ंक्शन को example (x - 5) + 8 (x - 8) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि आप सभी नंबरों पर इस फ़ंक्शन का एक अभिन्न अंग लेते हैं, तो आपको एक अभिन्न अंग मिलेगा वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, भले ही फ़ंक्शन दो स्थानों के अलावा सभी स्थानों पर 0 हैं जहां पर अंक हैं। इस अवधारणा को तब दो या तीन आयामों के साथ एक स्थान का प्रतिनिधित्व करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है (मेरे उदाहरण में उपयोग किए गए एक-आयामी मामले के बजाय)।

यह एक बहुत ही जटिल विषय के लिए एक संक्षिप्त-संक्षिप्त परिचय है। इसके बारे में महसूस करने के लिए महत्वपूर्ण बात यह है कि डिराक डेल्टा फ़ंक्शन मूल रूप से फ़ंक्शन के एकीकरण को सार्थक बनाने के एकमात्र उद्देश्य के लिए मौजूद है। जब कोई अभिन्न अंग नहीं होता है, तो डिराक डेल्टा फ़ंक्शन की उपस्थिति विशेष रूप से सहायक नहीं होती है। लेकिन भौतिकी में, जब आप एक ऐसे क्षेत्र से जा रहे हैं जिसमें कोई कण नहीं होता है जो अचानक केवल एक बिंदु पर मौजूद होता है, तो यह काफी मददगार होता है।

उनकी 1930 की पुस्तक में, क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत, अंग्रेजी सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक क्वांटम यांत्रिकी के प्रमुख तत्वों को शामिल किया, जिसमें ब्रा-केट संकेतन और साथ ही उनका डायक डेल्टा फ़ंक्शन भी शामिल है। ये क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में मानक अवधारणा बन गए श्रोडिंगर समीकरण.