सेट थ्योरी में खाली सेट क्या है?

जब कुछ नहीं हो सकता है? यह एक मूर्खतापूर्ण सवाल की तरह लगता है, और काफी विरोधाभास है। सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, कुछ नहीं के अलावा कुछ भी नहीं होना नियमित है। यह कैसे हो सकता है?

जब हम बिना तत्वों के एक सेट बनाते हैं, तो हमारे पास अब कुछ नहीं होता है। हमारे पास इसमें कुछ नहीं के साथ एक सेट है। सेट के लिए एक विशेष नाम है जिसमें कोई तत्व नहीं हैं। इसे खाली या अशक्त सेट कहा जाता है।

खाली सेट की परिभाषा काफी सूक्ष्म है और इसमें थोड़े विचार की आवश्यकता होती है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम एक के बारे में सोचते हैं सेट तत्वों के संग्रह के रूप में। सेट स्वयं उन तत्वों से भिन्न होता है जिनमें यह शामिल होता है।

उदाहरण के लिए, हम {5} को देखेंगे, जो कि एक तत्व 5 है। सेट {5} एक संख्या नहीं है। यह एक तत्व के रूप में संख्या 5 के साथ एक सेट है, जबकि 5 एक संख्या है।

इसी तरह से, खाली सेट कुछ भी नहीं है। इसके बजाय, यह कोई तत्व नहीं है। यह कंटेनर के रूप में सेट के बारे में सोचने में मदद करता है, और तत्व वे चीजें हैं जो हम उनमें डालते हैं। एक खाली कंटेनर अभी भी एक कंटेनर है और खाली सेट के अनुरूप है।

खाली सेट अद्वितीय है, यही वजह है कि इसके बारे में बात करना पूरी तरह से उपयुक्त है खाली सेट, बजाय एक खाली सेट। यह खाली सेट को अन्य सेटों से अलग बनाता है। उनमें एक तत्व के साथ असीम रूप से कई सेट होते हैं। सेट {a}, {1}, {b} और {123} प्रत्येक में एक तत्व है, और इसलिए वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि तत्व स्वयं एक दूसरे से भिन्न होते हैं, इसलिए सेट बराबर नहीं होते हैं।

प्रत्येक तत्व के ऊपर के उदाहरणों के बारे में कुछ विशेष नहीं है। एक अपवाद के साथ, किसी भी गिनती संख्या या अनंत के लिए, उस आकार के असीम रूप से कई सेट होते हैं। अपवाद संख्या शून्य के लिए है। केवल एक सेट है, खाली सेट, जिसमें कोई तत्व नहीं है।

इस तथ्य का गणितीय प्रमाण कठिन नहीं है। हम पहले मानते हैं कि खाली सेट अद्वितीय नहीं है, कि उनमें कोई तत्व नहीं के साथ दो सेट हैं, और फिर सेट सिद्धांत से कुछ गुणों का उपयोग करके यह दिखाते हैं कि यह धारणा एक विरोधाभास का अर्थ है।

खाली सेट को प्रतीक ∅ द्वारा निरूपित किया जाता है, जो डेनिश वर्णमाला में एक समान प्रतीक से आता है। कुछ पुस्तकें शून्य सेट के वैकल्पिक नाम से खाली सेट को संदर्भित करती हैं।

चूंकि केवल एक खाली सेट है, इसलिए यह देखना सार्थक है कि सेट के संचालन के दौरान क्या होता है चौराहे, संघ और पूरक का उपयोग खाली सेट और एक सामान्य सेट के साथ किया जाता है जिसे हम निरूपित करेंगे द्वारा एक्स. खाली सेट के सबसेट पर विचार करना भी दिलचस्प है और खाली सेट एक सबसेट कब है। ये तथ्य नीचे दिए गए हैं:

• चौराहा खाली सेट के साथ किसी भी सेट खाली सेट है। ऐसा इसलिए है क्योंकि खाली सेट में कोई तत्व नहीं हैं, और इसलिए दो सेटों में कोई तत्व नहीं है। प्रतीकों में, हम लिखते हैं एक्स ∩ ∅ = ∅.
• संघ किसी भी सेट को खाली सेट के साथ सेट किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि खाली सेट में कोई तत्व नहीं हैं, और इसलिए हम यूनियन बनाते समय दूसरे सेट में कोई तत्व नहीं जोड़ रहे हैं। प्रतीकों में, हम लिखते हैं एक्स यू ∅ = एक्स.
• पूरक हैं खाली सेट उस सेटिंग के लिए सार्वभौमिक सेट है जिसे हम काम कर रहे हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी तत्वों का सेट जो खाली सेट में नहीं है, सभी तत्वों का सेट है।
• खाली सेट किसी भी सेट का एक सबसेट है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम एक सेट के सबसेट बनाते हैं एक्स से तत्वों का चयन (या चयन नहीं) करके एक्स. सबसेट के लिए एक विकल्प यह है कि किसी भी तत्व का उपयोग न किया जाए एक्स. यह हमें खाली सेट देता है।