एक पॉसन डिस्ट्रीब्यूशन के वेरिएंस की गणना कैसे करें

एक यादृच्छिक चर के वितरण का विचरण एक महत्वपूर्ण विशेषता है। यह संख्या एक वितरण के प्रसार को इंगित करती है, और इसे स्क्वेरिंग द्वारा पाया जाता है मानक विचलन. एक आमतौर पर इस्तेमाल किया असतत वितरण यह पोइसन वितरण का है। हम देखेंगे कि पैरामीटर λ के साथ पॉइसन वितरण के विचरण की गणना कैसे करें।

पॉइज़न वितरण का उपयोग तब किया जाता है जब हमारे पास किसी प्रकार का एक निरंतरता होती है और इस सातत्य के भीतर असतत परिवर्तन गिना जाता है। यह तब होता है जब हम एक घंटे के दौरान मूवी टिकट काउंटर पर आने वालों की संख्या पर नज़र रखते हैं एक चौराहे से होकर गुजरने वाली कारों की संख्या रुकने या लंबाई में होने वाली खामियों की संख्या की गिनती करना तार।

यदि हम इन परिदृश्यों में कुछ स्पष्ट धारणाएँ बनाते हैं, तो ये परिस्थितियाँ पॉइसन प्रक्रिया के लिए शर्तों से मेल खाती हैं। हम फिर कहते हैं कि यादृच्छिक चर, जो परिवर्तनों की संख्या को गिनाता है, एक पॉइसन वितरण है।

Poisson वितरण वास्तव में वितरण के एक अनंत परिवार को संदर्भित करता है। ये वितरण एकल पैरामीटर λ से लैस हैं। पैरामीटर एक सकारात्मक है वास्तविक संख्या

पोइसन वितरण के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह निम्न द्वारा दिया गया है:

च(एक्स) = (λएक्सइ-λ)/एक्स!

इस अभिव्यक्ति में, पत्र इ एक नंबर है और लगभग 2.718281828 के बराबर मूल्य वाला गणितीय स्थिरांक है। चर एक्स कोई भी अप्रतिष्ठित पूर्णांक हो सकता है।

पोइसन वितरण के माध्य की गणना करने के लिए, हम इस वितरण का उपयोग करते हैं पल उत्पन्न समारोह. हम देखते है कि:

म( टी ) = ई [इTX] = Σ इTXच( एक्स) = ΣइTX λएक्सइ-λ)/एक्स!

अब हम मैकलेरिन श्रृंखला को याद करते हैं इ^यू. फ़ंक्शन के किसी भी व्युत्पन्न के बाद से इ^यू है इ^यूइन सभी व्युत्पन्न शून्य पर मूल्यांकन हमें 1 दे। परिणाम श्रृंखला है इ^यू = Σ यूⁿ/n!.

के लिए Maclaurin श्रृंखला का उपयोग करके इ^यू, हम एक श्रृंखला के रूप में नहीं, बल्कि एक बंद रूप में उत्पन्न होने वाले कार्य को व्यक्त कर सकते हैं। हम सभी शब्दों को घातांक के साथ जोड़ते हैं एक्स. इस प्रकार म(टी) = इ^{λ(इटी - 1)}.

अब हम दूसरे व्युत्पन्न को लेकर विचरण करते हैं म और शून्य पर इसका मूल्यांकन। जबसे म’(टी) =λइ^टीम(टी), हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करते हैं:

म’’(टी)=λ2इ2टीम’(टी) + λइटीम(टी)

हम शून्य पर इसका मूल्यांकन करते हैं और पाते हैं म’’(0) = λ² + λ. हम तो इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि म'(0) = λ विचरण की गणना करने के लिए।

वार (एक्स) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

इससे पता चलता है कि पैरामीटर λ न केवल पोइसन वितरण का मतलब है, बल्कि इसका विचरण भी है।