फिट टेस्ट की अच्छाई का उदाहरण

फिट परीक्षण के ची-वर्ग अच्छाई तुलना करने के लिए एक उपयोगी है सैद्धांतिक मॉडल मनाया गया डेटा। यह परीक्षण अधिक सामान्य ची-वर्ग परीक्षण का एक प्रकार है। गणित या सांख्यिकी में किसी भी विषय के साथ, फिट परीक्षा के ची-स्क्वायर अच्छाई के उदाहरण के माध्यम से यह समझने के लिए एक उदाहरण के माध्यम से काम करने में मदद मिल सकती है।

दूध चॉकलेट एम एंड एमएस के एक मानक पैकेज पर विचार करें। छह अलग-अलग रंग हैं: लाल, नारंगी, पीला, हरा, नीला और भूरा। मान लीजिए कि हम इन रंगों के वितरण के बारे में उत्सुक हैं और पूछते हैं, क्या सभी छह रंग समान अनुपात में होते हैं? यह एक प्रकार का प्रश्न है जिसका उत्तर फिट टेस्ट की अच्छाई के साथ दिया जा सकता है।

हम सेटिंग को नोट करने से शुरू करते हैं और फिट परीक्षण की भलाई क्यों उपयुक्त है। रंग का हमारा चर स्पष्ट है। इस चर के छह स्तर हैं, जो संभव हैं छह रंगों के अनुरूप। हम यह मानेंगे कि जिस M & Ms की हम गणना करते हैं, वह सभी M & Ms की जनसंख्या से एक साधारण यादृच्छिक नमूना होगा।

अशक्त और वैकल्पिक परिकल्पना फिट परीक्षण की हमारी अच्छाई के लिए हम उस धारणा को दर्शाते हैं जो हम आबादी के बारे में बना रहे हैं। चूंकि हम यह परीक्षण कर रहे हैं कि क्या रंग समान अनुपात में होते हैं, इसलिए हमारी अशक्त परिकल्पना यह होगी कि सभी रंग समान अनुपात में होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, यदि

वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि कम से कम जनसंख्या अनुपात 1/6 के बराबर नहीं है।

वास्तविक गणना छह रंगों में से प्रत्येक के लिए कैंडी की संख्या है। अपेक्षित गणना से तात्पर्य है कि हम क्या उम्मीद करेंगे यदि अशक्त परिकल्पना सच थी। हम देंगे n हमारे नमूने का आकार हो। लाल कैंडी की अपेक्षित संख्या है पी₁ n या n/6. वास्तव में, इस उदाहरण के लिए, छह रंगों में से प्रत्येक के लिए कैंडी की अपेक्षित संख्या बस है n बार पी_मैं, या n/6.

अब हम एक विशिष्ट उदाहरण के लिए ची-स्क्वायर स्टेटिस्टिक की गणना करेंगे। मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित वितरण के साथ 600 M & M कैंडी का एक सरल यादृच्छिक नमूना है:

• कैंडी के 212 नीले हैं।
• कैंडी में से 147 नारंगी हैं।
• कैंडी के 103 हरे हैं।
• कैंडी में से 50 लाल हैं।
• कैंडी में से 46 पीले हैं।
• कैंडी में से 42 भूरी हैं।

यदि शून्य परिकल्पना सच थी, तो इन रंगों में से प्रत्येक के लिए अपेक्षित मायने रखता है (1/6) x 600 = 100। अब हम ची-स्क्वायर आँकड़ा की गणना में इसका उपयोग करते हैं।

हम प्रत्येक रंग से अपने आंकड़े में योगदान की गणना करते हैं। प्रत्येक फॉर्म का है (वास्तविक - अपेक्षित)²/Expected.:

• नीले रंग के लिए हमारे पास (212 - 100) है²/100 = 125.44
• नारंगी के लिए हमारे पास (147 - 100)²/100 = 22.09
• हरे रंग के लिए हमारे पास (103 - 100)²/100 = 0.09
• लाल के लिए हमारे पास (50 - 100)²/100 = 25
• पीले रंग के लिए हमारे पास (46 - 100)²/100 = 29.16
• भूरे रंग के लिए हमारे पास (42 - 100)²/100 = 33.64

हम तब इन सभी योगदानों को पूरा करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि हमारी ची-स्क्वायर आँकड़ा 125.44 + 22.09 + 0.09 + 25 +29.16 + 33.64 = 235.42 है।

की संख्या स्वतंत्रता का दर्जा फिट परीक्षण की एक अच्छाई के लिए हमारे चर के स्तरों की संख्या से केवल एक कम है। चूंकि छह रंग थे, इसलिए हमारे पास 6 - 1 = 5 डिग्री की स्वतंत्रता है।

235.42 की ची-स्क्वायर आँकड़ा जो हमने गणना की थी, वह ची-स्क्वायर डिस्ट्रीब्यूशन के पांच डिग्री के साथ एक विशेष स्थान से मेल खाती है। हमें अब जरूरत है पी-मूल्यकम से कम 235.42 के रूप में एक परीक्षण सांख्यिकीय प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करने के लिए, जबकि यह मानना ​​है कि शून्य परिकल्पना सच है।

इस गणना के लिए Microsoft के Excel का उपयोग किया जा सकता है। हम पाते हैं कि पांच डिग्री की स्वतंत्रता के साथ हमारे परीक्षण सांख्यिकीय का पी-मान 7.29 x 10 है^-49. यह एक बहुत छोटा पी-मूल्य है।

हम पी-मूल्य के आकार के आधार पर अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने के बारे में अपना निर्णय लेते हैं। चूँकि हमारे पास एक बहुत छोटा-सा पी-वैल्यू है, हम अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि M & Ms को छह अलग-अलग रंगों के बीच समान रूप से वितरित नहीं किया गया है। एक विशेष रंग की जनसंख्या अनुपात के लिए एक विश्वास अंतराल निर्धारित करने के लिए एक अनुवर्ती विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है।