संयोजन और क्रमपरिवर्तन कैसे भिन्न होते हैं

गणित और आंकड़ों के दौरान, हमें यह जानना होगा कि कैसे गिनती की जाए। यह कुछ के लिए विशेष रूप से सच है संभावना समस्या। मान लीजिए कि हमें कुल दिया जाता है n अलग-अलग वस्तुओं और चयन करना चाहते हैं आर उनमें से। यह सीधे गणित के एक क्षेत्र पर स्पर्श करता है जिसे कॉम्बिनेटरिक्स के रूप में जाना जाता है, जो गिनती का अध्ययन है। इनकी गणना करने के दो मुख्य तरीके हैं आर वस्तुओं से n तत्वों को क्रमपरिवर्तन और संयोजन कहा जाता है। ये अवधारणाएं एक दूसरे से निकटता से जुड़ी हुई हैं और आसानी से भ्रमित होती हैं।

संयोजन और क्रमपरिवर्तन के बीच अंतर क्या है? प्रमुख विचार आदेश का है। एक क्रमांकन उस आदेश पर ध्यान देता है जो हम अपनी वस्तुओं का चयन करते हैं। वस्तुओं का एक ही सेट, लेकिन एक अलग क्रम में लिया जाना हमें अलग-अलग क्रमपरिवर्तन देगा। एक संयोजन के साथ, हम अभी भी चयन करते हैं आर की कुल से वस्तुओं n, लेकिन आदेश अब नहीं माना जाता है।

इन विचारों के बीच अंतर करने के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करेंगे: सेट से दो अक्षरों के कितने क्रमांकन हैं {}ए, बी, सी}?

यहां हम दिए गए सेट से तत्वों के सभी जोड़े को सूचीबद्ध करते हैं, सभी आदेश पर ध्यान देते हैं। कुल छह क्रमोन्नति हैं। इन सभी की सूची इस प्रकार है: एबी, बा, बीसी, सीबी, एसी और सीए। ध्यान दें कि क्रमपरिवर्तन के रूप में

अब हम निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देंगे: सेट से दो अक्षरों के कितने संयोजन हैं {ए, बी, सी}?

चूंकि हम संयोजन के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हमें अब आदेश की परवाह नहीं है। हम क्रमपरिवर्तनों को देखकर और फिर उन्हीं अक्षरों को हटाकर इस समस्या को हल कर सकते हैं। संयोजन के रूप में, अब तथा बी 0 ए 0 समान माना जाता है। इस प्रकार केवल तीन संयोजन हैं: ab, ac और bc।

जिन स्थितियों के लिए हम बड़े सेट के साथ सामना करते हैं, वे सभी संभावित क्रमांकन या संयोजनों को सूचीबद्ध करने और अंतिम परिणाम गिनने के लिए बहुत समय लेने वाली होती हैं। सौभाग्य से, ऐसे सूत्र हैं जो हमें क्रमपरिवर्तन या संयोजन की संख्या देते हैं n वस्तुओं को लिया आर समय पर।

इन सूत्रों में, हम शॉर्टहैंड नोटेशन का उपयोग करते हैं n! बुलाया nकारख़ाने का. तथ्य यह है कि सभी सकारात्मक पूर्ण संख्याओं को गुणा या उससे कम करने के लिए कहते हैं n साथ में। तो, उदाहरण के लिए, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। परिभाषा से ०! = 1.

के क्रमपरिवर्तन की संख्या n वस्तुओं को लिया आर एक बार सूत्र द्वारा दिया गया है:

पी(n,आर) = n!/(n - आर)!

के संयोजन की संख्या n वस्तुओं को लिया आर एक बार सूत्र द्वारा दिया गया है:

सी(n,आर) = n!/[आर!(n - आर)!]

सूत्रों को काम पर देखने के लिए, आइए प्रारंभिक उदाहरण देखें। एक बार में दो लिया तीन वस्तुओं के एक सेट के क्रमपरिवर्तन की संख्या द्वारा दिया जाता है पी(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा हमने सभी क्रमपरिवर्तन को सूचीबद्ध करके प्राप्त किया है।

एक बार में दो वस्तुओं के एक सेट के संयोजन की संख्या दो द्वारा दी गई है:

सी(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. फिर, यह वही रेखाएं हैं जो हमने पहले देखी थीं।

जब हम बड़े सेट के क्रमपरिवर्तन की संख्या ज्ञात करने के लिए कहते हैं, तो सूत्र निश्चित रूप से समय की बचत करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बार में तीन ले जाने वाली दस वस्तुओं के एक सेट के कितने क्रमांकन हैं? सभी क्रमों को सूचीबद्ध करने में कुछ समय लगेगा, लेकिन सूत्रों के साथ, हम देखते हैं कि यह होगा:

पी(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 क्रमपरिवर्तन।

क्रमपरिवर्तन और संयोजनों में क्या अंतर है? लब्बोलुआब यह है कि एक आदेश में शामिल स्थितियों की गणना में, क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया जाना चाहिए। यदि आदेश महत्वपूर्ण नहीं है, तो संयोजन का उपयोग किया जाना चाहिए।