एक Yahtzee रोलिंग की संभावना

याहत्ज़ी एक पासा खेल है जिसमें मौका और रणनीति का संयोजन होता है। एक खिलाड़ी पाँच पासे पलट कर अपनी बारी शुरू करता है। इस रोल के बाद, खिलाड़ी पासा की किसी भी संख्या को फिर से रोल करने का निर्णय ले सकता है। अधिक से अधिक, प्रत्येक मोड़ के लिए कुल तीन रोल हैं। इन तीन रोल के बाद, पासा का परिणाम स्कोर शीट पर दर्ज किया जाता है। इस स्कोर शीट में विभिन्न श्रेणियां हैं, जैसे कि ए पूरा घर या बड़ा सीधा. प्रत्येक श्रेणी पासा के विभिन्न संयोजनों से संतुष्ट है।

भरने के लिए सबसे कठिन श्रेणी याहटज़ी की है। एक याहटज़ी तब होता है जब एक खिलाड़ी एक ही संख्या के पांच रोल करता है। याहत्ज़ी की संभावना कितनी कम है? यह एक ऐसी समस्या है जिसके लिए संभावनाएं खोजने की तुलना में बहुत अधिक जटिल है दो या और भी तीन पासा. मुख्य कारण यह है कि तीन रोल के दौरान पांच मिलान पासा प्राप्त करने के कई तरीके हैं।

हम संयोजन के लिए संयोजन के सूत्र का उपयोग करके या समस्या को कई में तोड़कर याहत्ज़ी को रोल करने की संभावना की गणना कर सकते हैं परस्पर अनन्य मामलों।

विचार करने के लिए सबसे आसान मामला पहले रोल पर तुरंत यात्ज़ी प्राप्त करना है। हम सबसे पहले देखेंगे

एक दो को रोल करने की संभावना 1/6 है, और प्रत्येक मरने का परिणाम बाकी से स्वतंत्र है। इस प्रकार पाँच जुड़वाँ रोल करने की संभावना है (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776। किसी अन्य संख्या के पांच रोल करने की संभावना भी 1/7776 है। चूंकि मरने पर कुल छह अलग-अलग संख्याएं होती हैं, इसलिए हम उपरोक्त संभावना को 6 से गुणा करते हैं।

इसका मतलब यह है कि पहले रोल पर याहत्ज़ी की संभावना 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0.08 प्रतिशत है।

यदि हम एक तरह के पहले रोल के अलावा पांच और कुछ भी रोल करते हैं, तो हमें याहत्ज़ी पाने की कोशिश करने के लिए अपने कुछ पासा फिर से भरने होंगे। मान लीजिए कि हमारे पहले रोल में चार तरह के हैं। हम उस एक डाई को फिर से रोल करेंगे जो मेल नहीं खाता है और फिर इस दूसरे रोल पर एक याहू प्राप्त करें।

इस तरह से कुल पाँच दोहों को रोल करने की संभावना निम्न प्रकार से पाई जाती है:

1. पहले रोल पर, हम चार जुड़वा हैं। चूँकि दो को रोल करने की प्रायिकता 1/6 है, और दो को न रोल करने की 5/6, हम गुणा (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776।
2. पाँच में से कोई पासा लुढ़का गैर-दो हो सकते हैं। हम अपने संयोजन सूत्र का उपयोग C (5, 1) = 5 के लिए करते हैं कि हम कितने तरीकों से चार दो और कुछ ऐसा कर सकते हैं जो दो नहीं हैं।
3. हम गुणा करते हैं और देखते हैं कि पहले रोल पर ठीक चार जुड़वाँ रोल करने की संभावना 25/7776 है।
4. दूसरे रोल पर, हमें एक दो को रोल करने की संभावना की गणना करने की आवश्यकता है। यह 1/6 है। इस प्रकार उपरोक्त तरीके से टहनियों के एक योट्ज़ी को रोल करने की संभावना है (25/7776) x (1/6) = 25/46656।

इस तरह से किसी भी याहत्ज़ी को रोल करने की संभावना को खोजने के लिए उपरोक्त संभावना को 6 से गुणा करके पाया जाता है क्योंकि मरने पर छह अलग-अलग संख्याएं होती हैं। यह 6 x 25/46656 = 0.32 प्रतिशत की संभावना देता है।

लेकिन यह दो रोल के साथ याहत्ज़ी को रोल करने का एकमात्र तरीका नहीं है। निम्नलिखित सभी संभावनाएं ऊपर के समान ही पाई जाती हैं:

• हम तीन तरह के रोल कर सकते थे, और फिर दो पासे जो हमारे दूसरे रोल पर थे। इस की संभावना 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0.54 प्रतिशत है।
• हम एक मिलान जोड़ी को रोल कर सकते हैं, और हमारे दूसरे रोल पर उस मैच में तीन पासा। इसकी संभावना 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0.36 प्रतिशत है।
• हम पांच अलग-अलग पासा रोल कर सकते हैं, एक को हमारे पहले रोल से बचा सकते हैं, फिर दूसरे रोल पर चार पासे को रोल कर सकते हैं। इस की संभावना (6! / 7776) x (1/1296) = 0.01 प्रतिशत है।

उपरोक्त मामले परस्पर अनन्य हैं। इसका मतलब है कि दो रोल में याहत्ज़ी को रोल करने की संभावना की गणना करने के लिए, हम उपरोक्त संभावनाओं को एक साथ जोड़ते हैं और हमारे पास लगभग 1.23 प्रतिशत है।

अभी तक की सबसे जटिल स्थिति के लिए, हम अब उस मामले की जांच करेंगे, जहां हम अपने तीनों रोल का उपयोग यात्ज़ी प्राप्त करने के लिए करते हैं। हम इसे कई तरीकों से कर सकते हैं और इन सभी को ध्यान में रखना चाहिए।

इन संभावनाओं की संभावनाओं की गणना नीचे की गई है:

• एक तरह के चार रोल करने की संभावना, फिर कुछ भी नहीं, फिर अंतिम रोल पर अंतिम मृत्यु का मिलान 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0.27 है प्रतिशत।
• एक प्रकार के तीन रोल करने की संभावना, फिर कुछ भी नहीं, फिर अंतिम रोल पर सही जोड़ी के साथ मिलान 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = है 0.37 प्रतिशत।
• एक मिलान जोड़ी को रोल करने की संभावना, फिर कुछ भी नहीं, फिर तीसरे रोल पर एक तरह के सही तीन के साथ मिलान 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) है ) = 0.21 प्रतिशत।
• एकल मरने की संभावना है, फिर यह मेल नहीं खाता है, फिर तीसरे रोल पर एक तरह के सही चार के साथ मिलान करना है (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0.003 प्रतिशत।
• एक तरह के तीन रोल करने की संभावना, अगले रोल पर एक अतिरिक्त मर का मिलान, उसके बाद तीसरे रोल पर पाँचवीं डाई का मिलान 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0.89 है प्रतिशत।
• एक जोड़ी को रोल करने की संभावना, अगले रोल पर एक अतिरिक्त जोड़ी का मिलान, उसके बाद मिलान तीसरे रोल पर पांचवीं मौत 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0.89 है प्रतिशत।
• एक जोड़ी को रोल करने की संभावना, अगले रोल पर एक अतिरिक्त मरने का मिलान, उसके बाद मिलान करना तीसरे रोल पर अंतिम दो पासा 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0.74 प्रतिशत है।
• एक तरह के रोल करने की संभावना, दूसरे रोल पर मैच के लिए एक और मरना, और फिर तीसरे रोल पर एक तरह का तीन (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) है। x (1/216) = 0.01 प्रतिशत।
• एक प्रकार का रोल करने की संभावना, दूसरे रोल पर एक तरह का तीन मैच, उसके बाद तीसरे रोल पर एक मैच (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x है (1/6) = 0.02 प्रतिशत।
• एक तरह के रोल करने की संभावना, दूसरे रोल पर इसे मैच करने के लिए एक जोड़ी और फिर तीसरे रोल पर मैच करने के लिए एक और जोड़ी है (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0.03 प्रतिशत।

हम पासा के तीन रोल में याहत्ज़ी को रोल करने की संभावना निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सभी संभावनाओं को एक साथ जोड़ते हैं। यह संभावना 3.43 प्रतिशत है।

एक रोल में याहत्ज़ी की संभावना 0.08 प्रतिशत है, दो रोल्स में एक याहत्ज़ी की संभावना 1.23 प्रतिशत है और तीन रोल में एक यात्ज़ी की संभावना 3.43 प्रतिशत है। चूंकि इनमें से प्रत्येक पारस्परिक रूप से अनन्य हैं, हम संभावनाओं को एक साथ जोड़ते हैं। इसका मतलब यह है कि एक दिए गए मोड़ में यात्ज़ी प्राप्त करने की संभावना लगभग 4.74 प्रतिशत है। इसे परिप्रेक्ष्य में रखने के लिए, चूंकि 1/21 लगभग 4.74 प्रतिशत है, अकेले संयोग से एक खिलाड़ी को प्रत्येक 21 बारी में एक बार याहत्ज़ी से अपेक्षा करनी चाहिए। व्यवहार में, इसे प्रारंभिक जोड़ी के रूप में अधिक समय लग सकता है, जैसे कि कुछ और के लिए रोल करने के लिए त्याग दिया जा सकता है सीधे.