सशर्त संभावना: संकेतन और उदाहरण

का एक सीधा उदाहरण सशर्त संभावना संभावना है कि कार्ड के मानक डेक से तैयार एक कार्ड एक राजा है। 52 कार्डों में से कुल चार राजा हैं, और इसलिए संभावना केवल 4/52 है। इस गणना से संबंधित निम्नलिखित प्रश्न है: "क्या संभावना है कि हम एक राजा को दिए गए को आकर्षित करते हैं हमने पहले ही डेक से एक कार्ड निकाला है और यह एक इक्का है? "यहाँ हम डेक के कंटेंट पर विचार करते हैं पत्ते। अभी भी चार राजा हैं, लेकिन अब डेक में केवल 51 कार्ड हैं। राजा द्वारा दिए गए ड्राइंग की संभावना यह है कि एक इक्का पहले ही खींच लिया गया है 4/51।

सशर्त संभाव्यता एक घटना की संभावना को देखते हुए परिभाषित किया गया है कि एक और घटना हुई है। अगर हम इन घटनाओं को नाम दें ए तथा बी, तो हम की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं ए दिया हुआ बी. हम इसकी संभावना का भी उल्लेख कर सकते हैं ए पर निर्भर बी.

सशर्त संभावना के लिए अंकन पाठ्यपुस्तक से पाठ्यपुस्तक तक भिन्न होता है। सभी सूचनाओं में, संकेत यह है कि हम जिस संभावना का उल्लेख कर रहे हैं वह किसी अन्य घटना पर निर्भर है। की संभावना के लिए सबसे आम धारणाओं में से एक है ए दिया हुआ बी है P (A | B). उपयोग किया जाता है कि एक और संकेतन है पी_बी( ए ).

सशर्त संभाव्यता के लिए एक सूत्र है जो इसे की संभावना से जोड़ता है ए तथा बी:

P (A | B) = P (A / B) / P (B)

अनिवार्य रूप से यह सूत्र क्या कह रहा है कि घटना की सशर्त संभावना की गणना करना ए घटना दी बी, हम केवल सेट से मिलकर अपना नमूना स्थान बदलते हैं बी. ऐसा करने में, हम सभी ईवेंट पर विचार नहीं करते हैं ए, लेकिन केवल का हिस्सा है ए वह भी इसमें निहित है बी. सेट जिसे हमने अभी वर्णित किया है, को अधिक परिचित शब्दों में पहचाना जा सकता है चौराहा का ए तथा बी.

हम प्रयोग कर सकते हैं बीजगणित उपरोक्त सूत्र को एक अलग तरीके से व्यक्त करने के लिए:

P (A (B) = P (A | B) P (B)

इस जानकारी के प्रकाश में हमने जो उदाहरण शुरू किया था, हम उसका फिर से अध्ययन करेंगे। हम एक राजा को आकर्षित करने की संभावना जानना चाहते हैं, जो एक इक्का पहले ही खींचा जा चुका है। इस प्रकार घटना ए क्या हम एक राजा को आकर्षित करते हैं। प्रतिस्पर्धा बी यह है कि हम एक इक्का आकर्षित करते हैं।

संभावना है कि दोनों घटनाएं होती हैं और हम एक इक्का खींचते हैं और फिर एक राजा पी (ए) बी) से मेल खाता है। इस संभाव्यता का मान 12/2652 है। घटना की संभावना बी, कि हम एक इक्का खींचते हैं 4/52। इस प्रकार हम सशर्त संभाव्यता सूत्र का उपयोग करते हैं और देखते हैं कि एक इक्का से दिए गए राजा को खींचने की संभावना खींची गई है (16/2652) / (4/52) = 4/51।

एक और उदाहरण के लिए, हम संभावना प्रयोग पर ध्यान देंगे जहाँ हम रोल दो पासा. एक प्रश्न जो हम पूछ सकते हैं, "क्या संभावना है कि हमने तीन रोल किए हैं, यह देखते हुए कि हमने छह से कम राशि का योग किया है?"

यहाँ घटना ए यह है कि हमने एक तीन और घटना को रोल किया है बी यह है कि हमने छह से कम राशि ली है। दो पासा रोल करने के कुल 36 तरीके हैं। इन 36 तरीकों में से, हम दस में से छह से कम राशि जोड़ सकते हैं:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

ऐसे कुछ उदाहरण हैं जिनमें सशर्त संभावना है ए घटना दी बी की संभावना के बराबर है ए. इस स्थिति में, हम कहते हैं कि घटनाओं ए तथा बी एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। उपरोक्त सूत्र बन जाता है:

P (A | B) = P (A) = P (A / B) / P (B),

और हम उस सूत्र को पुनर्प्राप्त करते हैं जो स्वतंत्र घटनाओं के लिए दोनों की संभावना है ए तथा बी इनमें से प्रत्येक घटना की संभावनाओं को गुणा करके पाया जाता है:

P (A (B) = P (B) P (A)

जब दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो इसका मतलब है कि एक घटना का दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक सिक्का उछालना और फिर दूसरा स्वतंत्र घटनाओं का एक उदाहरण है। एक सिक्के के फ्लिप का दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

पहचानने के लिए बहुत सावधान रहें कि कौन सी घटना दूसरे पर निर्भर करती है। सामान्य रूप में P (A | B) के बराबर नहीं है P (B | A). की संभावना है ए घटना दी बी की संभावना के रूप में ही नहीं है बी घटना दी ए.

ऊपर एक उदाहरण में हमने देखा कि दो पासा को लुढ़काने में, तीन को रोल करने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने छह से कम राशि का योग किया था, 4/10 था। दूसरी ओर, किसी राशि को छह से कम रोल देने की संभावना क्या है जिसे हमने तीन रोल किया है? एक तीन और छह से कम राशि के रोल की संभावना 4/36 है। कम से कम एक तीन को रोल करने की संभावना 11/36 है। तो इस मामले में सशर्त संभावना है (4/36) / (11/36) = 4/11।