नंबर Pi: 3.14159265 ...

पूरे गणित में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्थिरांक में से एक नंबर पी है, जिसे ग्रीक अक्षर used द्वारा दर्शाया गया है। पीआई की अवधारणा ज्यामिति में उत्पन्न हुई, लेकिन इस संख्या में पूरे गणित के अनुप्रयोग हैं और सांख्यिकी और संभाव्यता सहित दूर के विषयों में दिखाई देते हैं। पाई ने सांस्कृतिक समारोह और अपनी स्वयं की छुट्टी भी प्राप्त की है, जिसके उत्सव के साथ पाई दिवस की गतिविधियाँ दुनिया भर में।

पाई को वृत्त के परिधि के व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। पाई का मूल्य तीन से थोड़ा अधिक है, जिसका अर्थ है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक सर्कल की लंबाई के साथ एक परिधि है जो इसके व्यास से थोड़ा अधिक तीन गुना है। अधिक सटीक रूप से, pi का दशमलव प्रतिनिधित्व है जो 3.14159265 से शुरू होता है... यह पाई के दशमलव विस्तार का केवल एक हिस्सा है।

पाई में कई आकर्षक और असामान्य विशेषताएं हैं, जिनमें शामिल हैं:

• पाई एक अपरिमेय है वास्तविक संख्या. इसका मतलब है कि पाई को एक अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है a / b कहाँ पे ए तथा ख दोनों पूर्णांकों. यद्यपि संख्या 22/7 और 355/113 पीआई का आकलन करने में मददगार हैं, लेकिन इनमें से कोई भी अंश पी का सही मूल्य नहीं है।
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• क्योंकि पीआई एक अपरिमेय संख्या है, इसका दशमलव विस्तार कभी समाप्त या दोहराता नहीं है। इस दशमलव विस्तार के संबंध में कुछ प्रश्न हैं, जैसे: क्या पाई के दशमलव विस्तार में अंकों का हर संभव स्ट्रिंग कहीं दिखाई देता है? यदि हर संभव स्ट्रिंग दिखाई देती है, तो आपका सेल फोन नंबर कहीं न कहीं पाई के विस्तार में है (लेकिन ऐसा हर किसी का है)।
• पाई एक पारलौकिक संख्या है। इसका अर्थ है कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का शून्य नहीं है। पाई की अधिक उन्नत सुविधाओं की खोज करते समय यह तथ्य महत्वपूर्ण है।
• पाई महत्वपूर्ण रूप से ज्यामितीय है, और सिर्फ इसलिए नहीं कि यह एक वृत्त की परिधि और व्यास से संबंधित है। यह संख्या एक वृत्त के क्षेत्र के सूत्र में भी दिखाई देती है। त्रिज्या के एक वृत्त का क्षेत्र आर है ए = पी आर². संख्या पीआई का उपयोग अन्य ज्यामितीय सूत्रों में किया जाता है, जैसे कि सतह क्षेत्र और एक गोले का आयतन, एक शंकु का आयतन और एक परिपत्र आधार के साथ एक सिलेंडर की मात्रा।
• पाई कम से कम अपेक्षित होने पर प्रकट होती है। इसके कई उदाहरणों में से एक के लिए, विचार करें अनंत राशि 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... यह राशि मान पाई में परिवर्तित होती है²/6.

पाई पूरे गणित में आश्चर्यजनक रूप से प्रकट होती है, और इनमें से कुछ उपस्थिति संभावना और सांख्यिकी के विषयों में हैं। के लिए सूत्र मानक सामान्य वितरण, जिसे घंटी की वक्र के रूप में भी जाना जाता है, संख्या पी को सामान्यीकरण की एक निरंतरता के रूप में पेश करता है। दूसरे शब्दों में, पी को शामिल करने वाली एक अभिव्यक्ति से विभाजित करने से आपको यह कहने की अनुमति मिलती है कि वक्र के नीचे का क्षेत्र एक के बराबर है। पाई अन्य के लिए सूत्रों का हिस्सा है संभाव्यता वितरण भी।

संभावना में पाई का एक और आश्चर्यजनक घटना एक सदियों पुराना सुई-फेंकने का प्रयोग है। 18 वीं शताब्दी में, जॉर्जेस-लुई लेक्लेर, कॉम्टे डी बफन सुइयों को छोड़ने की संभावना से संबंधित एक सवाल। एक समान चौड़ाई की लकड़ी के तख्तों के साथ एक मंजिल के साथ शुरू करें जिसमें प्रत्येक तख्तों के बीच की रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होती हैं। तख्तों के बीच की दूरी से कम लंबाई वाली सुई लें। यदि आप फर्श पर एक सुई गिराते हैं, तो क्या संभावना है कि यह लकड़ी के दो तख्तों के बीच एक रेखा पर उतरेगा?

जैसा कि यह पता चला है, कि दो तख्तों के बीच एक रेखा पर सुई की लंबाई, तख्तों की पाई के बीच की लंबाई से विभाजित सुई की लंबाई से दोगुनी होती है।