दो सेटों का अंतर क्या है?

जब से निपटने समुच्चय सिद्धान्तपुराने से नए सेट बनाने के लिए कई ऑपरेशन हैं। सबसे आम सेट ऑपरेशनों में से एक को प्रतिच्छेदन कहा जाता है। सीधे शब्दों में कहा जाए तो दो सेटों का प्रतिच्छेदन ए तथा बी सभी तत्वों का सेट है जो दोनों ए तथा बी सामान्य है।

हम सेट सिद्धांत में प्रतिच्छेदन से संबंधित विवरणों को देखेंगे। जैसा कि हम देखेंगे, यहाँ प्रमुख शब्द "और" है।

एक उदाहरण के लिए कि दो सेटों का प्रतिच्छेदन कैसे बनता है नया सेट, सेट पर विचार करें ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. इन दो सेटों के प्रतिच्छेदन को खोजने के लिए, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि उनके पास कौन से तत्व हैं। 3, 4, 5 संख्या दोनों सेट के तत्व हैं, इसलिए के चौराहों ए तथा बी है {३। 4. 5].

सेट सिद्धांत संचालन से संबंधित अवधारणाओं को समझने के अलावा, इन कार्यों को निरूपित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों को पढ़ने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। चौराहे के लिए प्रतीक को कभी-कभी दो सेटों के बीच "और" शब्द से बदल दिया जाता है। यह शब्द एक चौराहे के लिए अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन का सुझाव देता है जो आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

प्रतीक का उपयोग दो सेटों के प्रतिच्छेदन के लिए किया जाता है ए तथा बी द्वारा दिया गया है ए ∩ बी. यह याद रखने का एक तरीका है कि यह प्रतीक to चौराहे को संदर्भित करता है, इसकी राजधानी ए के समान है, जो शब्द "और" के लिए छोटा है।

कार्रवाई में इस अंकन को देखने के लिए, उपरोक्त उदाहरण को देखें। यहां हमारे पास सेट थे ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. इसलिए हम सेट समीकरण लिखेंगे ए ∩ बी = {3, 4, 5}.

चौराहे को शामिल करने वाली एक मूल पहचान हमें दिखाती है कि क्या होता है जब हम किसी भी सेट के चौराहे को खाली सेट के साथ लेते हैं, जिसे # 70709 द्वारा दर्शाया जाता है। खाली सेट बिना किसी तत्व के सेट है। यदि हम में से कम से कम एक सेट में कोई तत्व नहीं हैं, तो हम किस अंतर को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो दो सेटों में कोई तत्व नहीं है। दूसरे शब्दों में, किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन खाली सेट हमें खाली सेट देगा।

यह पहचान हमारे अंकन के उपयोग के साथ और भी अधिक कॉम्पैक्ट हो जाती है। हमारी पहचान है: ए ∩ ∅ = ∅.

अन्य चरम के लिए, जब हम सार्वभौमिक सेट के साथ एक सेट के चौराहे की जांच करते हैं तो क्या होता है? कैसे शब्द के समान ब्रम्हांड खगोल विज्ञान में सब कुछ मतलब है, सार्वभौमिक सेट में हर तत्व शामिल है। यह इस प्रकार है कि हमारे सेट का प्रत्येक तत्व भी सार्वभौमिक सेट का एक तत्व है। इस प्रकार सार्वभौमिक सेट के साथ किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन वह सेट है जिसे हमने शुरू किया था।

इस पहचान को और अधिक स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए फिर से हमारा संकल्‍प आता है। किसी भी सेट के लिए ए और सार्वभौमिक सेट यू, ए ∩ यू = ए.

कई और अधिक सेट समीकरण हैं जो चौराहे के संचालन का उपयोग करते हैं। बेशक, यह हमेशा अच्छा होता है अभ्यास सेट सिद्धांत की भाषा का उपयोग करना। सभी सेटों के लिए ए, तथा बी तथा डी हमारे पास है:

• पलटा संपत्ति: ए ∩ ए =ए
• क्रमचयी गुणधर्म: ए ∩ बी = बी ∩ ए
• संबंधी संपत्ति: (ए ∩ बी) ∩ डी =ए ∩ (बी ∩ डी)
• वितरण की जाने वाली संपत्ति: (ए ∪ बी) ∩ डी = (ए ∩ डी)∪ (बी ∩ डी)
• DeMorgan का नियम I: (ए ∩ बी)^सी = ए^सी ∪ बी^सी
• डीमोरिन का नियम II: (ए ∪ बी)^सी = ए^सी ∩ बी^सी