सांख्यिकी और गणित में स्वतंत्रता की डिग्री

आंकड़ों में, स्वतंत्रता की डिग्री का उपयोग स्वतंत्र मात्रा की संख्या को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिसे एक सांख्यिकीय वितरण को सौंपा जा सकता है। यह संख्या आम तौर पर एक सकारात्मक पूरी संख्या को संदर्भित करती है जो सांख्यिकीय समस्याओं से लापता कारकों की गणना करने के लिए किसी व्यक्ति की क्षमता पर प्रतिबंध की कमी को इंगित करती है।

स्वतंत्रता की डिग्री एक आंकड़े की अंतिम गणना में चर के रूप में कार्य करती है और इसका उपयोग विभिन्न परिणामों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है एक प्रणाली में परिदृश्य, और स्वतंत्रता के गणित की डिग्री में निर्धारित करने के लिए आवश्यक एक डोमेन में आयामों की संख्या को परिभाषित करता है पूर्ण वेक्टर.

स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा को समझने के लिए, हम नमूने के विषय में एक बुनियादी गणना देखेंगे मतलब, और डेटा की सूची का मतलब खोजने के लिए, हम सभी डेटा जोड़ते हैं और कुल संख्या से विभाजित करते हैं मान।

एक पल के लिए मान लीजिए कि हम जानते हैं मतलब एक डेटा सेट 25 है और इस सेट में मान 20, 10, 50 और एक अज्ञात संख्या है। एक नमूने के लिए सूत्र हमें समीकरण देता है

आइए इस परिदृश्य को थोड़ा बदल दें। फिर से हम मानते हैं कि हम जानते हैं कि डेटा सेट का मतलब 25 है। हालांकि, इस बार डेटा सेट में मान 20, 10 और दो अज्ञात मूल्य हैं। ये अज्ञात भिन्न हो सकते हैं, इसलिए हम दो का उपयोग करते हैं विभिन्न चर, एक्स, तथा y, इसको निरूपित करना। परिणामी समीकरण है (20 + 10 + x + y) / 4 = 25. कुछ बीजगणित के साथ, हम प्राप्त करते हैं y = 70- एक्स. सूत्र को इस रूप में लिखा गया है कि एक बार हम एक मान चुनें एक्सके लिए मूल्य y पूरी तरह से निर्धारित है। हमारे पास बनाने के लिए एक विकल्प है, और यह दर्शाता है कि एक है आज़ादी की श्रेणी.

अब हम एक सौ का एक नमूना आकार देखेंगे। यदि हम जानते हैं कि इस नमूने के डेटा का मतलब 20 है, लेकिन किसी भी डेटा के मूल्यों को नहीं जानते हैं, तो 99 डिग्री की स्वतंत्रता है। सभी मानों को कुल मिलाकर 20 x 100 = 2000 होना चाहिए। एक बार जब हम डेटा सेट में 99 तत्वों का मान रखते हैं, तो अंतिम एक निर्धारित किया गया है।

स्वतंत्रता की डिग्री का उपयोग करते समय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं छात्र टी-स्कोर तालिका. वास्तव में कई हैं टी स्कोर वितरण। हम स्वतंत्रता की डिग्री के उपयोग से इन वितरणों के बीच अंतर करते हैं।

यहां ही संभावना वितरण जो हम उपयोग करते हैं वह हमारे नमूने के आकार पर निर्भर करता है। अगर हमारे नमूने का आकार है n, तो स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है n-1. उदाहरण के लिए, 22 का एक नमूना आकार हमें की पंक्ति का उपयोग करने की आवश्यकता होगी टी-स्वतंत्रता की 21 डिग्री के साथ सारस तालिका।

का उपयोग ची-वर्ग वितरण के उपयोग की भी आवश्यकता है स्वतंत्रता का दर्जा। यहाँ, एक समान तरीके से टी स्कोर वितरण, नमूना आकार निर्धारित करता है कि किस वितरण का उपयोग करना है। यदि नमूना आकार है n, तो हैं n-1 स्वतंत्रता का दर्जा।

एक और जगह जहां स्वतंत्रता की डिग्री मानक विचलन के सूत्र में दिखाई देती है। यह घटना उतनी अधिक नहीं है, लेकिन हम यह देख सकते हैं कि क्या हमें पता है कि कहां देखना है। सेवा एक मानक विचलन पाते हैं हम माध्य से "औसत" विचलन की तलाश कर रहे हैं। हालांकि, प्रत्येक डेटा मूल्य से माध्य को घटाने और अंतरों को चुकाने के बाद, हम विभाजित करके समाप्त होते हैं n-1 बजाय n जैसा कि हम उम्मीद कर सकते हैं।

की उपस्थिति n-1 स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से आता है। के बाद से n डेटा मान और नमूना माध्य का उपयोग सूत्र में किया जा रहा है, हैं n-1 स्वतंत्रता का दर्जा।

अधिक उन्नत सांख्यिकीय तकनीक स्वतंत्रता की डिग्री की गणना के अधिक जटिल तरीकों का उपयोग करती है। स्वतंत्र नमूनों के साथ दो तरीकों के लिए परीक्षण सांख्यिकीय की गणना करते समय n₁ तथा n₂ तत्वों, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या काफी जटिल सूत्र है। इसका अनुमान छोटे के उपयोग से लगाया जा सकता है n₁-1 तथा n₂-1

स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने के लिए एक अलग तरीके का एक और उदाहरण एक के साथ आता है एफ परीक्षा। आचरण में एफ हमारे पास परीक्षण है क प्रत्येक आकार के नमूने n- अंश में स्वतंत्रता की डिग्री है क-1 और हर में है क(n-1).