प्रायिकता में कई प्रमेयों से कटौती की जा सकती है संभावना के स्वयंसिद्ध. इन प्रमेयों को उन संभावनाओं की गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है जिन्हें हम जानना चाहते हैं। ऐसा ही एक परिणाम पूरक नियम के रूप में जाना जाता है। यह कथन हमें एक की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है प्रतिस्पर्धाए पूरक की संभावना को जानकर एसी. पूरक नियम बताते हुए, हम देखेंगे कि यह परिणाम कैसे साबित किया जा सकता है।
पूरक नियम
घटना का पूरक ए द्वारा निरूपित किया जाता है एसी. का पूरक है ए है सेट सार्वभौमिक सेट में सभी तत्वों के, या नमूना अंतरिक्ष एस, जो सेट के तत्व नहीं हैं ए.
पूरक नियम निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है:
पी (एसी) = 1 - पी (ए)
यहां हम देखते हैं कि किसी घटना की संभावना और इसके पूरक की संभावना 1 के योग होनी चाहिए।
पूरक नियम का प्रमाण
पूरक नियम को साबित करने के लिए, हम संभावना के स्वयंसिद्धों से शुरू करते हैं। इन बयानों को बिना सबूत के मान लिया जाता है। हम देखेंगे कि किसी घटना के पूरक होने की संभावना से संबंधित हमारे कथन को सिद्ध करने के लिए उन्हें व्यवस्थित रूप से उपयोग किया जा सकता है।
- प्रायिकता का पहला स्वयंसिद्ध यह है कि किसी भी घटना की संभावना एक nonnegative है वास्तविक संख्या.
- संभावना का दूसरा स्वयंसिद्ध है कि पूरे नमूना स्थान की संभावना एस एक है। प्रतीकात्मक रूप से हम P लिखते हैं (एस) = 1.
- संभाव्यता के तीसरे स्वयंसिद्ध में कहा गया है कि यदि ए तथा बी पारस्परिक रूप से अनन्य हैं (जिसका अर्थ है कि उनके पास एक खाली चौराहा है), फिर हम इसकी संभावना बताते हैं इन घटनाओं का संघ पी के रूप में (ए यू बी ) = पी (ए) + पी (बी).
पूरक नियम के लिए, हमें ऊपर की सूची में पहले स्वयंसिद्ध का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होगी।
अपने बयान को साबित करने के लिए हम घटनाओं पर विचार करते हैं एतथा एसी. सेट सिद्धांत से, हम जानते हैं कि इन दो सेटों में खाली चौराहा है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक तत्व दोनों में एक साथ नहीं हो सकता है ए और में नहीं ए. चूंकि एक खाली चौराहा है, ये दो सेट हैं परस्पर अनन्य.
दो घटनाओं का मिलन ए तथा एसी भी महत्वपूर्ण हैं। ये संपूर्ण घटनाओं का गठन करते हैं, जिसका अर्थ है कि द संघ इन घटनाओं के सभी नमूना स्थान है एस.
ये तथ्य, स्वयंसिद्धों के साथ मिलकर हमें समीकरण देते हैं
1 = पी (एस) = पी (ए यू एसी) = पी (ए) + पी (एसी) .
दूसरी समानता स्वयंसिद्ध के कारण पहली समानता है। दूसरी समानता है क्योंकि घटनाओं की ए तथा एसी संपूर्ण हैं। तीसरी समानता तीसरे प्रायिकता स्वयंसिद्ध के कारण है।
उपरोक्त समीकरण को उस रूप में फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है जो हमने ऊपर कहा था। हमें जो कुछ भी करना चाहिए, उसकी संभावना घटाना है ए समीकरण के दोनों ओर से। इस प्रकार
1 = पी (ए) + पी (एसी)
समीकरण बन जाता है
पी (एसी) = 1 - पी (ए).
बेशक, हम यह कहकर भी नियम व्यक्त कर सकते हैं कि:
पी (ए) = 1 - पी (एसी).
ये तीनों समीकरण एक ही बात कहने के बराबर तरीके हैं। हम इस प्रमाण से देखते हैं कि कैसे सिर्फ दो स्वयंसिद्ध और कुछ सेट सिद्धांत संभाव्यता से संबंधित नए बयानों को साबित करने में हमारी मदद करने के लिए एक लंबा रास्ता तय करते हैं।