मार्कोव की असमानता संभावना में एक सहायक परिणाम है जो एक के बारे में जानकारी देता है संभावना वितरण. इसके बारे में उल्लेखनीय पहलू यह है कि असमानता सकारात्मक मूल्यों के साथ किसी भी वितरण के लिए रखती है, फिर चाहे वह अन्य कोई भी विशेषता क्यों न हो। मार्कोव की असमानता एक विशेष मूल्य से ऊपर वितरण के प्रतिशत के लिए एक ऊपरी बाध्यता देती है।
मार्कोव की असमानता का विवरण
मार्कोव की असमानता एक सकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए कहती है एक्स और कोई भी सकारात्मक वास्तविक संख्याएसंभावना है कि एक्स से अधिक या बराबर है ए से कम या बराबर है अपेक्षित मूल्य का एक्स द्वारा विभाजित ए.
उपर्युक्त विवरण को गणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए अधिक स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है। प्रतीकों में, हम मार्कोव की असमानता को इस प्रकार लिखते हैं:
पी (एक्स ≥ ए) ≤ इ( एक्स) /ए
असमानता का चित्रण
असमानता को स्पष्ट करने के लिए, मान लें कि हमारे पास गैर-संवैधानिक मूल्यों (जैसे कि ए) के साथ एक वितरण है ची-वर्ग वितरण). अगर यह यादृच्छिक चर एक्स 3 के अपेक्षित मूल्य के कुछ मूल्यों के लिए हम संभावनाओं को देखेंगे ए.
- के लिये ए = 10 मार्कोव की असमानता कहती है कि पी (एक्स ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. इसलिए 30% संभावना है कि एक्स 10 से अधिक है।
- के लिये ए = 30 मार्कोव की असमानता कहती है कि पी (एक्स ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. तो 10% संभावना है कि एक्स 30 से अधिक है।
- के लिये ए = 3 मार्कोव की असमानता कहती है कि पी (एक्स ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. 1 = 100% की संभावना वाले कार्यक्रम निश्चित हैं। तो यह कहता है कि यादृच्छिक चर का कुछ मान 3 से अधिक या उसके बराबर है। यह बहुत आश्चर्य की बात नहीं होनी चाहिए। अगर के सभी मूल्यों एक्स 3 से कम थे, तो अपेक्षित मूल्य भी 3 से कम होगा।
- के मान के रूप में ए बढ़ जाती है, भागफल इ(एक्स) /ए और छोटा हो जाएगा। इसका मतलब यह है कि संभावना बहुत कम है कि एक्स बहुत, बहुत बड़ा है। फिर, 3 के अपेक्षित मूल्य के साथ, हम उन मूल्यों के साथ वितरण के बहुत होने की उम्मीद नहीं करेंगे जो बहुत बड़े थे।
असमानता का उपयोग
यदि हम उस वितरण के बारे में अधिक जानते हैं जिसके साथ हम काम कर रहे हैं, तो हम आमतौर पर मार्कोव की असमानता में सुधार कर सकते हैं। इसका उपयोग करने का मूल्य यह है कि यह किसी भी वितरण के लिए अप्रभावी मूल्यों के साथ रखता है।
उदाहरण के लिए, यदि हम एक प्राथमिक विद्यालय में छात्रों की औसत ऊंचाई जानते हैं। मार्कोव की असमानता हमें बताती है कि एक से अधिक छठे छात्रों के पास ऊँचाई से छह गुना अधिक ऊँचाई हो सकती है।
मार्कोव की असमानता का अन्य प्रमुख उपयोग साबित करना है चेबीशेव की असमानता. यह तथ्य "चेबीशेव की असमानता" नाम के परिणामस्वरूप मार्कोव की असमानता पर भी लागू होता है। असमानताओं के नामकरण का भ्रम ऐतिहासिक परिस्थितियों के कारण भी है। एंड्री मार्कोव पफनूट चेबीशेव के छात्र थे। चेबिशेव के काम में असमानता है जो मार्कोव के लिए जिम्मेदार है।