साहचर्य और कम्यूटेटिव गुण

कई गणितीय गुण हैं जिनका उपयोग किया जाता है आंकड़े तथा संभावना; इनमें से दो, कम्यूटेटिव और साहचर्य गुण, आम तौर पर मूल अंकगणित से जुड़े होते हैं पूर्णांकों, तर्कसंगत, और वास्तविक संख्याये, हालांकि वे अधिक उन्नत गणित में भी दिखाई देते हैं।

ये गुण — विधायक और साहचर्य — बहुत समान हैं और इन्हें आसानी से मिलाया जा सकता है। उस कारण से, दोनों के बीच अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।

कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी कुछ गणितीय कार्यों के क्रम की चिंता करती है। एक बाइनरी ऑपरेशन के लिए - एक जिसमें केवल दो तत्व शामिल हैं - यह समीकरण द्वारा दिखाया जा सकता है a + b = b + a। ऑपरेशन सराहनीय है क्योंकि तत्वों का क्रम ऑपरेशन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। दूसरी ओर, सहयोगी संपत्ति, एक ऑपरेशन में तत्वों के समूह की चिंता करती है। इसे समीकरण (a + b) + c = a + (b + c) द्वारा दिखाया जा सकता है। तत्वों का समूहन, जैसा कि कोष्ठकों द्वारा इंगित किया गया है, समीकरण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। ध्यान दें कि जब कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी का उपयोग किया जाता है, तो एक समीकरण में तत्व होते हैं पुनर्व्यवस्थित. जब साहचर्य संपत्ति का उपयोग किया जाता है, तो तत्व केवल होते हैं फिर से एकजुट.

सीधे शब्दों में, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी में कहा गया है कि समीकरण के परिणाम को प्रभावित किए बिना समीकरण में कारकों को स्वतंत्र रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी, वास्तविक संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के जोड़ और गुणा सहित संचालन के आदेश के साथ ही चिंता करती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3 और 5 को अंतिम परिणाम को प्रभावित किए बिना किसी भी क्रम में एक साथ जोड़ा जा सकता है:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

अंतिम परिणाम को प्रभावित किए बिना किसी भी क्रम में संख्याओं को गुणा किया जा सकता है:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

घटाव और विभाजन, हालांकि, ऐसे ऑपरेशन नहीं हैं जो कम्यूटेटिव हो सकते हैं क्योंकि संचालन का क्रम महत्वपूर्ण है। ऊपर के तीन नंबर नही सकता, उदाहरण के लिए, अंतिम मूल्य को प्रभावित किए बिना किसी भी क्रम में घटाया जाना चाहिए:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

परिणामस्वरूप, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को समीकरणों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है a + b = b + a और x b = b x a। कोई फर्क नहीं पड़ता कि इन समीकरणों में मूल्यों का क्रम, परिणाम हमेशा समान होंगे।

साहचर्य संपत्ति कहती है कि समीकरण के परिणाम को प्रभावित किए बिना एक ऑपरेशन में कारकों के समूह को बदला जा सकता है। इसे समीकरण a (b + c) = (a + b) + c के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि समीकरण में मूल्यों का कौन सा जोड़ा पहले जोड़ा गया है, परिणाम समान होगा।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2 + 3 + 5 लें। कोई फर्क नहीं पड़ता कि मूल्यों को कैसे वर्गीकृत किया जाता है, समीकरण का परिणाम 10 होगा:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी की तरह, ऑपरेशन के उदाहरण जो संबद्ध हैं उनमें वास्तविक संख्याओं, पूर्णांकों और तर्कसंगत संख्याओं का जोड़ और गुणा शामिल है। हालाँकि, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी के विपरीत, एसोसिएटिव प्रॉपर्टी मैट्रिक्स गुणन और फ़ंक्शन कंपोजीशन पर भी लागू हो सकती है।

कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी समीकरणों की तरह, एसोसिएटिव प्रॉपर्टी समीकरणों में वास्तविक संख्याओं का घटाव नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय समस्या (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1 लें; यदि हम कोष्ठकों के समूह को बदलते हैं, तो हमारे पास 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5 है, जो समीकरण के अंतिम परिणाम को बदल देता है।

हम सवाल पूछकर साहचर्य और कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी के बीच का अंतर बता सकते हैं, “क्या हम ऑर्डर बदल रहे हैं तत्वों, या हम तत्वों के समूह को बदल रहे हैं? " यदि तत्वों को फिर से व्यवस्थित किया जा रहा है, तो कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी लागू होता है। यदि तत्वों को केवल फिर से इकट्ठा किया जा रहा है, तो सहयोगी संपत्ति लागू होती है।

हालांकि, ध्यान दें कि अकेले कोष्ठकों की उपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि साहचर्य संपत्ति लागू होती है। उदाहरण के लिए:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

यह समीकरण वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त संपत्ति के उदाहरण का एक उदाहरण है। यदि हम समीकरण पर सावधानीपूर्वक ध्यान देते हैं, हालांकि, हम देखते हैं कि केवल तत्वों का क्रम बदल दिया गया है, समूहन नहीं। लागू करने के लिए साहचर्य संपत्ति के लिए, हमें तत्वों के समूह को भी पुनर्व्यवस्थित करना होगा:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3