वियरेन्स के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का उदाहरण

जनसंख्या भिन्नता इस बात का संकेत देती है कि डेटा सेट को कैसे फैलाना है। दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह जानना असंभव है कि यह जनसंख्या पैरामीटर क्या है। हमारे ज्ञान की कमी के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, हम नामक एक विषय का उपयोग ह्रासमान आँकड़ों से करते हैं विश्वास अंतराल. हम एक उदाहरण देखेंगे कि जनसंख्या विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल की गणना कैसे करें।

(1 - α) के लिए सूत्र जनसंख्या विचरण के बारे में विश्वास अंतराल. असमानताओं के निम्नलिखित तार द्वारा दिया गया है:

[ (n - 1)रों²] / बी < σ² < [ (n - 1)रों²] / ए.

यहाँ n नमूना आकार है, रों² नमूना विचरण है। जो नंबर ए के साथ ची-वर्ग वितरण का बिंदु है n स्वतंत्रता की -1 डिग्री जिस पर वक्र के नीचे क्षेत्र का α / 2 बाईं ओर है ए. इसी तरह से, संख्या बी समान α / 2of के दाईं ओर वक्र के नीचे क्षेत्र के साथ एक ही ची-वर्ग वितरण का बिंदु है बी.

हम 10 मानों के साथ सेट किए गए डेटा से शुरू करते हैं। डेटा मानों का यह सेट एक साधारण यादृच्छिक नमूने द्वारा प्राप्त किया गया था:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

कुछ खोजपूर्ण डेटा विश्लेषण को यह दिखाने के लिए आवश्यक होगा कि कोई आउटलेयर नहीं हैं। निर्माण करके

हमें नमूना विचरण के साथ जनसंख्या विचरण का अनुमान लगाना होगा, जिसे निरूपित किया गया है रों². तो हम इस आंकड़े की गणना करके शुरू करते हैं। अनिवार्य रूप से हम औसत हैं वर्ग विचलन का योग मतलब से। हालांकि, इस राशि को विभाजित करने के बजाय n हम इसे विभाजित करते हैं n - 1.

हम पाते हैं कि नमूना का मतलब 104.2 है। इसका उपयोग करके, हमारे पास दिए गए माध्य से चुकता विचलन का योग है:

(97 – 104.2)² + (75 – 104.3)² +... + (96 – 104.2)² + (102 – 104.2)² = 2495.6

हम 277 का एक नमूना विचरण प्राप्त करने के लिए इस राशि को 10 - 1 = 9 से विभाजित करते हैं।

अब हम अपने ची-स्क्वायर वितरण की ओर मुड़ते हैं। चूंकि हमारे पास 10 डेटा मान हैं, इसलिए हमारे पास 9 हैं स्वतंत्रता का दर्जा. चूंकि हम अपने वितरण का मध्य 95% चाहते हैं, इसलिए हमें प्रत्येक दो पूंछों में 2.5% की आवश्यकता होती है। हम ची-स्क्वायर टेबल या सॉफ्टवेयर से परामर्श करते हैं और देखते हैं कि वितरण के क्षेत्र का तालिका मान 2.7004 और 19.023 संलग्न है। ये नंबर हैं ए तथा बी, क्रमशः।

अब हमारे पास वह सब कुछ है जिसकी हमें आवश्यकता है, और हम अपने विश्वास अंतराल को इकट्ठा करने के लिए तैयार हैं। बाएँ समापन बिंदु का सूत्र है [(n - 1)रों²] / बी. इसका मतलब है कि हमारा बायाँ समापन बिंदु है:

(९ x २।)) / १ ९ .०२३ = १३३

सही समापन बिंदु को प्रतिस्थापित करके पाया जाता है बी साथ में ए:

(९ x २2323) / २.00०००० = ९ २३

और इसलिए हम 95% आश्वस्त हैं कि जनसंख्या का विचरण 133 और 923 के बीच है।

बेशक, चूंकि मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है, इसलिए इस विधि का उपयोग जनसंख्या मानक विचलन के लिए एक विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए किया जा सकता है। हम सभी को जो करना होगा, वह है समापन बिंदुओं के वर्गमूल लेना। परिणाम 95% आत्मविश्वास का अंतराल होगा मानक विचलन.