घातांक वितरण के माध्य की गणना कैसे करें

मंझला डेटा का एक सेट मध्य बिंदु है, जिसमें डेटा मानों का लगभग आधा औसत से कम या बराबर होता है। इसी तरह से, हम एक के माध्य के बारे में सोच सकते हैं निरंतरसंभावना वितरण, लेकिन डेटा के एक सेट में मध्य मूल्य खोजने के बजाय, हम वितरण के मध्य को एक अलग तरीके से पाते हैं।

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के तहत कुल क्षेत्र 1 है, 100% का प्रतिनिधित्व करता है, और परिणामस्वरूप, इसमें से आधे को एक-आधा या 50 प्रतिशत द्वारा दर्शाया जा सकता है। गणितीय आँकड़ों के बड़े विचारों में से एक यह है कि संभावना वक्र के नीचे के क्षेत्र द्वारा दर्शायी जाती है घनत्व फ़ंक्शन, जिसकी गणना एक अभिन्न द्वारा की जाती है, और इस प्रकार एक निरंतर वितरण का माध्य बिंदु होता है वास्तविक संख्या लाइन जहां क्षेत्र का आधा हिस्सा बाईं ओर स्थित है।

यह निम्नलिखित अनुचित अभिन्न द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है। निरंतर यादृच्छिक चर का माध्य एक्स घनत्व समारोह के साथ च( एक्स) मूल्य M ऐसा है कि:

$0.5={\int }_{म}^{-\infty }च\left(\mathrm{एक्स}\right)घ\mathrm{एक्स}$0.5=∫म−∞​च(एक्स)घएक्स

अब हम घातीय वितरण एक्सप (ए) के लिए माध्यिका की गणना करते हैं। इस वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर में घनत्व फ़ंक्शन होता है

चूंकि किसी भी नकारात्मक मान के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन शून्य है एक्स, जो हमें करना चाहिए वह निम्नलिखित को एकीकृत करता है और एम के लिए हल करता है:

0.5 = M0M f (x) dx

अभिन्न के बाद से ∫ इ^{-एक्स/ए}/ ए डीएक्स = -इ^{-एक्स/ए}परिणाम यह है कि

0.5 = -e-M / A + 1

इसका मतलब है कि 0.5 = इ^{-M / A} और समीकरण के दोनों पक्षों के प्राकृतिक लघुगणक लेने के बाद, हमारे पास है:

ln (1/2) = -M / A

1/2 / 2 के बाद से^-1, लघुगणक के गुणों द्वारा हम लिखते हैं:

- ln2 = -M / A

A द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करने से हमें यह परिणाम मिलता है कि माध्य M = A ln2।

इस परिणाम के एक परिणाम का उल्लेख किया जाना चाहिए: घातीय वितरण एक्सप (ए) का मतलब ए है, और चूंकि ln2 1 से कम है, इसलिए यह निम्नानुसार है कि उत्पाद Aln2 A से कम है। इसका अर्थ यह है कि घातांक वितरण का माध्य माध्य से कम होता है।

यह समझ में आता है अगर हम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के ग्राफ के बारे में सोचते हैं। लंबी पूंछ के कारण, यह वितरण दाईं ओर तिरछा होता है। कई बार जब किसी वितरण को दाईं ओर तिरछा किया जाता है, तो इसका मतलब मध्यिका के दाईं ओर होता है।

सांख्यिकीय विश्लेषण के संदर्भ में इसका अर्थ यह है कि हम अक्सर अनुमान लगा सकते हैं कि माध्य और माध्यिका सीधे नहीं हैं सहसंबंध इस संभावना को देखते हुए कि डेटा दाईं ओर तिरछा है, जिसे औसत-माध्य असमानता प्रमाण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जाना जाता है चेबीशेव की असमानता.

एक उदाहरण के रूप में, एक डेटा सेट पर विचार करें जो बताता है कि एक व्यक्ति को 10 घंटों में कुल 30 आगंतुक मिलते हैं, जहां आगंतुक के लिए औसत प्रतीक्षा समय 20 मिनट है, जबकि डेटा का सेट पेश कर सकता है कि औसत प्रतीक्षा समय 20 से 30 मिनट के बीच होगा यदि पहले पांच में से आधे से अधिक आगंतुक आए। घंटे।