सेट थ्योरी में दो सेटों का अंतर क्या है?

दो सेटों का अंतर, लिखित ए - बी के सभी तत्वों का समूह है ए के तत्व नहीं हैं बी. संघ और चौराहे के साथ अंतर ऑपरेशन, एक महत्वपूर्ण और है मौलिक सेट सिद्धांत ऑपरेशन.

एक संख्या का दूसरे से घटाव कई अलग-अलग तरीकों से सोचा जा सकता है। इस अवधारणा को समझने में मदद करने के लिए एक मॉडल को टेकअवे मॉडल कहा जाता है घटाव. इसमें, 5 - 2 = 3 की समस्या को पाँच वस्तुओं से शुरू करके, उनमें से दो को हटाकर और तीन की गिनती के साथ प्रदर्शित किया जाएगा। इसी तरह से कि हम दो संख्याओं के बीच का अंतर पाते हैं, हम दो सेटों का अंतर पा सकते हैं।

हम सेट अंतर के एक उदाहरण को देखेंगे। देखना है कि दो का अंतर कैसे होता है सेट एक नया सेट बनाता है, आइए सेटों पर विचार करें ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. अंतर खोजने के लिए ए - बी इन दो सेटों में, हम सभी तत्वों के बारे में लिखना शुरू करते हैं ए, और फिर हर तत्व को हटा दें ए वह भी एक तत्व है बी. जबसे ए तत्वों को 3, 4 और 5 के साथ साझा करता है बी, यह हमें सेट अंतर देता है ए - बी = {1, 2}.

जिस तरह अंतर 4 - 7 और 7 - 4 हमें अलग-अलग उत्तर देते हैं, हमें उस अंतर के बारे में सावधान रहने की जरूरत है जिसमें हम सेट अंतर की गणना करते हैं। गणित से एक तकनीकी शब्द का उपयोग करने के लिए, हम कहेंगे कि अंतर का सेट संचालन सराहनीय नहीं है। इसका मतलब यह है कि सामान्य तौर पर हम दो सेटों के अंतर के क्रम को बदल नहीं सकते हैं और एक ही परिणाम की उम्मीद कर सकते हैं। हम और अधिक सटीक रूप से बता सकते हैं कि सभी सेटों के लिए

इसे देखने के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण पर वापस जाएं। हमने सेट के लिए गणना की ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, अंतर ए - बी = {1, 2 }. इसकी तुलना करने के लिए बी - ए, हम तत्वों के साथ शुरू करते हैं बी, जो 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं, और फिर 3, 4 और 5 को हटा दें क्योंकि ये सामान्य हैं ए. परिणाम है बी - ए = {6, 7, 8 }. यह उदाहरण स्पष्ट रूप से हमें दिखाता है ए - बी के बराबर नहीं है बी 0 ए 0.

एक प्रकार का अंतर अपने स्वयं के विशेष नाम और प्रतीक को वारंट करने के लिए महत्वपूर्ण है। इसे पूरक कहा जाता है, और इसका उपयोग सेट अंतर के लिए किया जाता है जब आग का सेट सार्वभौमिक सेट है। का पूरक है ए अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है यू - ए. यह सार्वभौमिक सेट में सभी तत्वों के सेट को संदर्भित करता है जो के तत्व नहीं हैं ए. चूंकि यह समझा जाता है कि ए तत्वों का सेट हम चुन सकते हैं सार्वभौमिक सेट से लिया गया है, हम बस यह कह सकते हैं कि पूरक ए उन तत्वों से मिलकर बना होता है जो तत्व नहीं हैं ए.

एक सेट का पूरक उस सार्वभौमिक सेट के सापेक्ष है, जिसके साथ हम काम कर रहे हैं। साथ में ए = {1, 2, 3} और यू = {1, 2, 3, 4, 5}, का पूरक ए {४, ५} है। यदि हमारा सार्वभौमिक सेट अलग है, तो कहें यू = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, फिर पूरक ए {-3, -2, -1, 0}. सार्वभौमिक सेट का क्या उपयोग किया जा रहा है, इस पर हमेशा ध्यान देना सुनिश्चित करें।

"पूरक" शब्द सी अक्षर से शुरू होता है, और इसलिए इसका उपयोग संकेतन में किया जाता है। सेट का पूरक ए के रूप में लिखा है ए^सी. इसलिए हम प्रतीकों में पूरक की परिभाषा को व्यक्त कर सकते हैं: ए^सी = यू - ए.

एक और तरीका है जो आमतौर पर सेट के पूरक को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है में एक एपोस्ट्रोफ शामिल होता है, और इसे लिखा जाता है ए'.

कई सेट पहचान हैं जो अंतर का उपयोग करते हैं और संचालन के पूरक हैं। कुछ पहचान अन्य सेट संचालन को जोड़ती है जैसे चौराहा तथा संघ. अधिक महत्वपूर्ण कुछ नीचे दिए गए हैं। सभी सेटों के लिए ए, तथा बी तथा डी हमारे पास है:

• ए - ए =∅
• ए - ∅ = ए
• ∅ - ए = ∅
• ए - यू = ∅
• (ए^सी)^सी = ए
• DeMorgan का नियम I: (ए ∩ बी)^सी = ए^सी ∪ बी^सी
• डीमोरिन का नियम II: (ए ∪ बी)^सी = ए^सी ∩ बी^सी