संभाव्यता में अपेक्षित मूल्य क्या है?

आप एक कार्निवल में हैं और आप एक खेल देखते हैं। $ 2 के लिए आप एक मानक छह-पक्षीय मर जाते हैं। यदि संख्या दिखा रहा है एक छह आप $ 10 जीतते हैं, अन्यथा, आप कुछ भी नहीं जीतते हैं। यदि आप पैसे कमाने की कोशिश कर रहे हैं, तो क्या यह खेल खेलना आपके हित में है? इस तरह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें अपेक्षित मूल्य की अवधारणा की आवश्यकता है।

अपेक्षित मूल्य वास्तव में एक यादृच्छिक चर के माध्यम के रूप में सोचा जा सकता है। इसका मतलब है कि यदि आप परिणामों पर नज़र रखते हुए एक संभावना प्रयोग चलाते हैं, तो अपेक्षित मूल्य है औसत प्राप्त मूल्यों के सभी अपेक्षित मूल्य वह है जो आपको मौके के खेल के कई परीक्षणों के लंबे समय में होने का अनुमान लगाना चाहिए।

ऊपर उल्लिखित कार्निवल खेल एक असतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण है। चर निरंतर नहीं है और प्रत्येक परिणाम हमारे पास एक संख्या में आता है जिसे दूसरों से अलग किया जा सकता है। एक खेल के अपेक्षित मूल्य को खोजने के लिए जिसके परिणाम हैं एक्स₁, एक्स₂,..., एक्स_n संभावनाओं के साथ पी₁, पी₂,... , पी_n, गणना करें:

एक्स₁पी₁ + एक्स₂पी₂ +... + एक्स_nपी_n.

ऊपर के खेल के लिए, आपके पास कुछ भी नहीं जीतने की 5/6 संभावना है। इस परिणाम का मूल्य -2 है क्योंकि आपने खेल खेलने के लिए $ 2 खर्च किए हैं। एक छः को दिखाने की 1/6 संभावना है, और इस मूल्य का परिणाम 8 है। क्यों 8 और 10 नहीं? फिर से हमें खेलने के लिए भुगतान किए गए $ 2, और 10 - 2 = 8 का हिसाब देना होगा।

अब इन मूल्यों और संभावनाओं को अपेक्षित रूप से प्लग करें मूल्य सूत्र और अंत: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3 के साथ। इसका मतलब है कि लंबे समय में, आपको हर बार इस गेम को खेलने के दौरान औसतन लगभग 33 सेंट खोने की उम्मीद करनी चाहिए। हां, आप कभी-कभी जीत जाएंगे। लेकिन आप अधिक बार खो देंगे।

अब मान लीजिए कि कार्निवल खेल को थोड़ा संशोधित किया गया है। $ 2 के समान प्रवेश शुल्क के लिए, यदि संख्या छह दिखती है तो आप $ 12 जीतते हैं, अन्यथा, आप कुछ भी नहीं जीतते हैं। इस खेल का अपेक्षित मूल्य -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0 है। लंबे समय में, आप किसी भी पैसे नहीं खो देंगे, लेकिन आप किसी भी जीत नहीं होगा। अपने स्थानीय कार्निवल में इन नंबरों के साथ एक खेल देखने की उम्मीद न करें। यदि लंबे समय में, आप कोई पैसा नहीं खोएंगे, तो कार्निवल कोई भी नहीं बनाएगा।

अब कैसीनो की ओर रुख करें। उसी तरह से जैसे हम मौका के खेल के अपेक्षित मूल्य की गणना कर सकते हैं जैसे कि रूले। अमेरिका में एक रूलेट व्हील में 1 से 36, 0 और 00 तक 38 क्रमांकित स्लॉट हैं। 1-36 के आधे लाल हैं, आधे काले हैं। 0 और 00 दोनों हरे हैं। स्लॉट में से एक में एक गेंद बेतरतीब ढंग से लैंड करती है, और जहां गेंद उतरेगी वहां दांव लगाए जाते हैं।

सबसे सरल दांवों में से एक लाल पर दांव लगाना है। यहां यदि आप पहिया में एक लाल नंबर पर $ 1 और गेंद भूमि पर दांव लगाते हैं, तो आप $ 2 जीतेंगे। यदि गेंद पहिया में एक काले या हरे रंग की जगह पर उतरती है, तो आप कुछ भी नहीं जीतते हैं। इस तरह के एक शर्त पर अपेक्षित मूल्य क्या है? चूंकि 18 लाल स्थान हैं, जीतने की 18/38 संभावना है, $ 1 का शुद्ध लाभ। आपके $ 1 के शुरुआती दांव को खोने की 20/38 संभावना है। में इस शर्त का अपेक्षित मूल्य रूले 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38 है, जो लगभग 5.3 सेंट है। यहां घर में थोड़ी बढ़त है (सभी कैसीनो खेलों के साथ)।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, एक पर विचार करें लॉटरी. हालांकि $ 1 टिकट की कीमत के लिए लाखों जीते जा सकते हैं, लॉटरी गेम के अपेक्षित मूल्य से पता चलता है कि इसका निर्माण कितना गलत है। मान लीजिए $ 1 के लिए आप 1 से 48 तक छह संख्याएँ चुनते हैं। सभी छह संख्याओं को सही ढंग से चुनने की संभावना 1 / 12,271,512 है। यदि आप सभी छह सही प्राप्त करने के लिए $ 1 मिलियन जीतते हैं, तो इस लॉटरी का अपेक्षित मूल्य क्या है? संभावित मूल्य हैं - हारने के लिए $ 1 और जीतने के लिए $ 999,999 (फिर हमें इसे जीतने के लिए खर्च करने और घटाने के लिए हिसाब देना होगा)। इससे हमें एक अपेक्षित मूल्य मिलता है:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

इसलिए यदि आप लॉटरी को बार-बार खेलना चाहते थे, तो लंबे समय में, आप लगभग 92 सेंट खो देते हैं - आपके टिकट के लगभग सभी मूल्य - जब भी आप खेलते हैं।

उपरोक्त सभी उदाहरण एक असतत को देखते हैं अनियमित चर. हालांकि, निरंतर यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षित मूल्य को भी परिभाषित करना संभव है। इस मामले में हमें जो कुछ भी करना चाहिए, वह है कि हम अपने फॉर्मूले में योग को एक अभिन्न के साथ बदलें।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अपेक्षित मूल्य एक के कई परीक्षणों के बाद औसत है यादृच्छिक प्रक्रिया. अल्पावधि में, यादृच्छिक चर का औसत अपेक्षित मूल्य से काफी भिन्न हो सकता है।