अपेक्षित मूल्य के लिए सूत्र

संभाव्यता वितरण के बारे में पूछने का एक स्वाभाविक प्रश्न है, "इसका केंद्र क्या है?" अपेक्षित मूल्य एक संभावना वितरण के केंद्र का ऐसा माप है। चूंकि यह माध्य को मापता है, इसलिए इसे कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि यह सूत्र माध्य से निकला है।

शुरुआती बिंदु स्थापित करने के लिए, हमें इस सवाल का जवाब देना चाहिए, "अपेक्षित मूल्य क्या है?" मान लीजिए कि हमारे पास एक यादृच्छिक चर है जो प्रायिकता प्रयोग से जुड़ा है। मान लीजिए कि हम इस प्रयोग को बार-बार दोहराते हैं। एक ही प्रायिकता प्रयोग के कई पुनरावृत्ति के लंबे समय से अधिक होने पर, हम अपने सभी मूल्यों का औसत निकालते हैं अनियमित चर, हम अपेक्षित मूल्य प्राप्त करेंगे।

किस प्रकार हम अपेक्षित मूल्य के फार्मूले का उपयोग करेंगे। हम असतत और निरंतर दोनों सेटिंग्स को देखेंगे और सूत्रों में समानताएं और अंतर देखेंगे।

हम असतत मामले का विश्लेषण करके शुरू करते हैं। असतत यादृच्छिक चर को देखते हुए एक्स, मान लीजिए कि इसमें मूल्य हैं एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃,... एक्स_n, और संबंधित संभावनाओं पी₁, पी₂, पी₃,... पी_n. यह कह रहा है कि इस यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन देता है च(एक्स_मैं) = पी_मैं.

का अपेक्षित मूल्य एक्स सूत्र द्वारा दिया गया है:

इ(एक्स) = एक्स₁पी₁ + एक्स₂पी₂ + एक्स₃पी₃ +... + एक्स_nपी_n.

प्रायिकता द्रव्यमान समारोह और समन संकेतन का उपयोग करके हमें इस सूत्र को और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखने की अनुमति देता है, जहां योग को सूचकांक में लिया जाता है। मैं:

इ(एक्स) = Σ एक्स_मैंच(एक्स_मैं).

सूत्र का यह संस्करण देखने में सहायक है क्योंकि यह तब भी काम करता है जब हमारे पास एक अनन्त नमूना स्थान होता है। निरंतर मामले के लिए इस सूत्र को आसानी से समायोजित किया जा सकता है।

एक सिक्के को तीन बार पलटें और चलें एक्स प्रमुखों की संख्या हो। यादृच्छिक चर एक्स असतत और परिमित है। एकमात्र संभावित मान जो हमारे पास हो सकते हैं वे 0, 1, 2 और 3 हैं। इसके लिए 1/8 की संभावना वितरण है एक्स = 0, 3/8 के लिए एक्स = 1, 3/8 के लिए एक्स = 2, 1/8 के लिए एक्स = 3. प्राप्त करने के लिए अपेक्षित मान सूत्र का उपयोग करें:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि, लंबे समय में, हम इस प्रयोग से कुल 1.5 शीर्षों का औसत निकालेंगे। यह हमारे अंतर्ज्ञान के साथ समझ में आता है क्योंकि 3 का एक आधा 1.5 है।

अब हम एक सतत यादृच्छिक चर की ओर मुड़ते हैं, जिसे हम निरूपित करेंगे एक्स. हम की संभावना घनत्व घनत्व कार्य करने देंगे एक्स समारोह द्वारा दिया जा सकता है च(एक्स).

का अपेक्षित मूल्य एक्स सूत्र द्वारा दिया गया है:

इ(एक्स) = ∫ x च(एक्स) dएक्स।

यहां हम देखते हैं कि हमारे यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है।

वहां कई हैं अपेक्षित मूल्य के लिए आवेदन एक यादृच्छिक चर की। इस सूत्र में एक दिलचस्प उपस्थिति है सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास.