गामा समारोह के साथ गणना

गामा समारोह निम्नलिखित जटिल दिखने वाले सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

Γ ( z ) = ∫₀^∞इ ^{- टी}टी^Z-1डीटी

एक सवाल जो लोगों के पास है जब वे पहली बार इस भ्रामक समीकरण का सामना करते हैं, तो "आप इस सूत्र का उपयोग कैसे करते हैं मूल्यों की गणना करने के लिए।" गामा समारोह? ” यह एक महत्वपूर्ण प्रश्न है क्योंकि यह जानना मुश्किल है कि इस फ़ंक्शन का क्या अर्थ है और सभी प्रतीकों का क्या अर्थ है के लिये।

इस सवाल का जवाब देने का एक तरीका गामा फ़ंक्शन के साथ कई नमूना गणनाओं को देखकर है। इससे पहले कि हम ऐसा करें, पथरी से कुछ चीजें हैं जो हमें पता होनी चाहिए, जैसे कि मैं एक प्रकार का कैसे एकीकृत कर सकता हूं जिसे मैं अनुचित मानता हूं, और वह e एक गणितीय स्थिरांक है.

किसी भी गणना करने से पहले, हम इन गणनाओं के पीछे की प्रेरणा की जांच करते हैं। कई बार गामा फ़ंक्शंस पर्दे के पीछे दिखाते हैं। गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में कई प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन बताए गए हैं। इनके उदाहरणों में गामा वितरण और छात्रों का टी-वितरण शामिल है, गामा फ़ंक्शन के महत्व को अधिक नहीं किया जा सकता है।

पहला उदाहरण गणना जो हम अध्ययन करेंगे, वह for (1) के लिए गामा फ़ंक्शन का मान पा रहा है। यह सेटिंग के द्वारा पाया जाता है

∫₀^∞इ ^{- टी}डीटी

हम दो चरणों में उपरोक्त अभिन्न गणना करते हैं:

• अनिश्चितकालीन अभिन्न alइ ^{- टी}डीटी= -इ ^{- टी} + सी
• यह एक अनुचित अभिन्न अंग है, इसलिए हमारे पास integr है₀^∞इ ^{- टी}डीटी = अंग_{b → ∞} -इ ^{- बी} + इ ⁰ = 1

अगले उदाहरण की गणना जो हम विचार करेंगे, वह पिछले उदाहरण के समान है, लेकिन हम मान बढ़ाते हैं z 1 से। अब हम सेटिंग द्वारा 2 (2) के लिए गामा फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं z = उपरोक्त सूत्र में २। चरण ऊपर के समान हैं:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞इ ^{- टी}t dt

अनिश्चितकालीन अभिन्न alते ^{- टी}डीटी=- ते ^{- टी} -इ ^{- टी} + सी. हालांकि हमने केवल इसके मूल्य में वृद्धि की है z 1 से, यह अभिन्न गणना करने के लिए अधिक काम लेता है। इस अभिन्न को खोजने के लिए, हमें एक तकनीक का उपयोग करना चाहिए जिसे पथरी के रूप में जाना जाता है भागों द्वारा एकीकरण. अब हम ऊपर की तरह एकीकरण की सीमाओं का उपयोग करते हैं और गणना करने की आवश्यकता है:

लिम_{b → ∞}- हो ^{- बी} -इ ^{- बी} -0E ⁰ + इ ⁰.

L’Hospital नियम के रूप में ज्ञात पथरी का एक परिणाम हमें सीमा सीमा की गणना करने की अनुमति देता है_{b → ∞}- हो ^{- बी} = 0. इसका मतलब यह है कि ऊपर हमारे अभिन्न का मूल्य 1 है।

गामा फ़ंक्शन की एक और विशेषता और जो इसे कनेक्ट करती है कारख़ाने का सूत्र है Γ (z +1 ) =zΓ (z ) के लिये z एक सकारात्मक के साथ किसी भी जटिल संख्या असली अंश। यह क्यों सच है इसका कारण गामा फ़ंक्शन के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है। भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके हम गामा फ़ंक्शन की इस संपत्ति को स्थापित कर सकते हैं।