वेक्टर गणित: एक बुनियादी लेकिन व्यापक परिचय

यह एक बुनियादी है, हालांकि उम्मीद है कि काफी व्यापक है, वैक्टर के साथ काम करने के लिए परिचय। कार्यक्षेत्र विस्थापन, वेग, और बलों और क्षेत्रों में त्वरण से कई तरह से प्रकट होते हैं। यह लेख वैक्टरों के गणित के लिए समर्पित है; विशिष्ट स्थितियों में उनके आवेदन को कहीं और संबोधित किया जाएगा।

ए वेक्टर क्वांटिटी, या वेक्टर, न केवल परिमाण, बल्कि मात्रा की दिशा के बारे में भी जानकारी प्रदान करता है। एक घर को दिशा देते समय, यह कहना पर्याप्त नहीं है कि यह 10 मील दूर है, लेकिन उपयोगी होने के लिए जानकारी के लिए उन 10 मील की दिशा भी प्रदान की जानी चाहिए। वैरिएबल जो वैक्टर होते हैं, उन्हें एक बोल्डफेस चर के साथ इंगित किया जाएगा, हालांकि वैरिएबल को ऊपर के छोटे तीर के साथ दर्शाया जाना आम है।

जैसे हम यह नहीं कहते कि दूसरा घर -10 मील दूर है, वेक्टर का परिमाण हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है, या वेक्टर की "लंबाई" का पूर्ण मान होता है (हालाँकि मात्रा एक लंबाई नहीं हो सकती है, यह एक वेग, त्वरण, बल, आदि हो सकता है) एक वेक्टर के सामने एक नकारात्मक परिमाण में बदलाव का संकेत नहीं करता है, बल्कि वेक्टर।

उपरोक्त उदाहरणों में, दूरी अदिश राशि (10 मील) लेकिन है विस्थापन वेक्टर मात्रा (उत्तर पूर्व में 10 मील) है। इसी प्रकार, गति एक अदिश राशि है जबकि वेग a है वेक्टर मात्रा।

ए इकाई वेक्टर एक वेक्टर है जिसमें एक का परिमाण है। एक वेक्टर एक इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, आमतौर पर बोल्डफेस भी होता है, हालांकि इसमें कैरेट होगा (^) इसके ऊपर चर की इकाई प्रकृति को इंगित करने के लिए। यूनिट वेक्टर एक्स, जब कैरेट के साथ लिखा जाता है, तो आम तौर पर "एक्स-हैट" के रूप में पढ़ा जाता है क्योंकि कैरेट वैरिएबल पर टोपी की तरह दिखता है।

शून्य वेक्टर, या अशक्त वेक्टर, शून्य के परिमाण वाला एक सदिश राशि है। के रूप में लिखा है 0 इस लेख में।

वैक्टर आमतौर पर एक समन्वय प्रणाली पर उन्मुख होते हैं, जिनमें से सबसे लोकप्रिय दो आयामी कार्टेशियन विमान है। कार्टेसियन प्लेन में एक क्षैतिज अक्ष होता है जिसे x लेबल किया जाता है और एक वर्टिकल अक्ष को y लेबल दिया जाता है। भौतिक विज्ञान में वैक्टर के कुछ उन्नत अनुप्रयोगों के लिए तीन-आयामी स्थान का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, जिसमें अक्ष x, y और z हैं। यह लेख ज्यादातर द्वि-आयामी प्रणाली से निपटेगा, हालांकि अवधारणाओं को बहुत अधिक परेशानी के बिना तीन आयामों के लिए कुछ देखभाल के साथ विस्तारित किया जा सकता है।

कई-आयाम समन्वय प्रणालियों में क्षेत्र उनके में टूट सकते हैं घटक वैक्टर. द्वि-आयामी मामले में, इसके परिणामस्वरूप ए एक्स-घटक और एक y-घटक. वेक्टर को अपने घटकों में तोड़ते समय, वेक्टर घटकों का एक योग होता है:

एफ = एफ_एक्स + एफ_y

थीटाएफ_एक्सएफ_yएफ

एफ_एक्स / एफ = कॉस थीटा तथा एफ_y / एफ = पाप थीटाजो हमें देता है
एफ_एक्स = एफ क्योंकि थीटा तथा एफ_y = एफ पाप थीटा

ध्यान दें कि यहां नंबर वैक्टर के परिमाण हैं। हम घटकों की दिशा जानते हैं, लेकिन हम उनका परिमाण खोजने की कोशिश कर रहे हैं, इसलिए हम दिशात्मक जानकारी को दूर करते हैं और परिमाण का पता लगाने के लिए इन अदिश गणनाओं को करते हैं। त्रिकोणमिति के आगे अनुप्रयोग का उपयोग अन्य संबंधों (जैसे स्पर्शरेखा) को इन कुछ राशियों के बीच करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अभी के लिए पर्याप्त है।

कई वर्षों के लिए, एकमात्र गणित जो एक छात्र सीखता है वह है अदिश गणित। यदि आप 5 मील उत्तर और 5 मील पूर्व में यात्रा करते हैं, तो आपने 10 मील की यात्रा की है। अदिश राशियों को जोड़ने से दिशाओं के बारे में सभी जानकारी की अनदेखी होती है।

वैक्टर में कुछ अलग तरह से हेरफेर किया जाता है। उन्हें हेरफेर करते समय दिशा को हमेशा ध्यान में रखना चाहिए।

जब आप दो वैक्टर जोड़ते हैं, तो ऐसा लगता है जैसे आपने वैक्टर ले लिया और उन्हें अंत तक रखा और एक नया वेक्टर बनाया जो शुरुआती बिंदु से अंत तक चल रहा है। यदि वैक्टर की दिशा समान होती है, तो इसका अर्थ केवल परिमाण जोड़ना है, लेकिन यदि उनके पास अलग-अलग दिशाएं हैं, तो यह अधिक जटिल हो सकता है।

आप उन्हें अपने घटकों में तोड़कर और फिर घटकों को जोड़कर वैक्टर जोड़ते हैं:

ए + ख = सी
ए_एक्स + ए_y + ख_एक्स + ख_y =
( ए_एक्स + ख_एक्स) + ( ए_y + ख_y) = सी_एक्स + सी_y

दो x- घटक नए चर के x-घटक में परिणाम करेंगे, जबकि दो y- घटक नए चर के y- घटक में परिणाम।

जिस क्रम में आप वैक्टर जोड़ते हैं, वह कोई मायने नहीं रखता। वास्तव में, स्केलर जोड़ से कई गुण वेक्टर जोड़ के लिए हैं:

वेक्टर एडिशन की पहचान संपत्ति
ए + 0 = ए
वेक्टर जोड़ की संपत्ति उलटा
ए + -ए = ए - ए = 0
वेक्टर जोड़ की चिंतनशील संपत्ति
ए = ए
क्रमचयी गुणधर्म वेक्टर परिवर्धन के
ए + ख = ख + ए
वेक्टर जोड़ की सहयोगी संपत्ति
(ए + ख) + सी = ए + (ख + सी)
वेक्टर परिवर्धन की सकर्मक संपत्ति
अगर ए = ख तथा सी = ख, फिर ए = सी

एक वेक्टर पर किया जा सकने वाला सबसे सरल ऑपरेशन इसे स्केलर द्वारा गुणा करना है। यह अदिश गुणक वेक्टर के परिमाण को बदल देता है। दूसरे शब्दों में, यह वेक्टर को लंबा या छोटा बनाता है।

एक नकारात्मक स्केलर को गुणा करते समय, परिणामस्वरूप वेक्टर विपरीत दिशा में इंगित करेगा।

अदिश उत्पाद दो वैक्टर एक स्केलर मात्रा प्राप्त करने के लिए उन्हें एक साथ गुणा करने का एक तरीका है। यह दो वैक्टर के गुणन के रूप में लिखा गया है, बीच में बिंदी का प्रतिनिधित्व गुणा के साथ है। जैसे, इसे अक्सर कहा जाता है डॉट उत्पाद दो वैक्टर के।

दो वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करने के लिए, आप उन दोनों के बीच के कोण पर विचार करते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि वे एक ही प्रारंभिक बिंदु साझा करते हैं, तो कोण माप क्या होगा (थीटा) उनके बीच। डॉट उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है:

ए * ख = अब क्योंकि थीटा

अबअब्बा

ऐसे मामलों में जब वैक्टर लंबवत (या) होते हैं थीटा = 90 डिग्री), कॉस थीटा शून्य होगा। इसलिए, लंबवत वैक्टर का डॉट उत्पाद हमेशा शून्य होता है. जब वैक्टर होते हैं समानांतर (या थीटा = 0 डिग्री), कॉस थीटा 1 है, इसलिए अदिश उत्पाद केवल परिमाण का गुणनफल है।

इन स्वच्छ छोटे तथ्यों का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि, यदि आप घटकों को जानते हैं, तो आप पूरी तरह से (दो-आयामी) समीकरण के साथ थीटा की आवश्यकता को समाप्त कर सकते हैं:

ए * ख = ए_एक्स ख_एक्स + ए_y ख_y

वेक्टर उत्पाद के रूप में लिखा गया है ए एक्स ख, और आमतौर पर कहा जाता है अन्योन्य गुणन दो वैक्टर के। इस मामले में, हम वैक्टर को बढ़ा रहे हैं और स्केलर मात्रा प्राप्त करने के बजाय, हम एक वेक्टर मात्रा प्राप्त करेंगे। यह वेक्टर संगणनाओं का सबसे पेचीदा हिस्सा है जिससे हम निपटेंगे, जैसा कि यह है नहीं कम्यूटेटिव और खूंखार का उपयोग शामिल है दाहिने हाथ का नियम, जो मुझे शीघ्र ही मिल जाएगा।

फिर, हम एक ही बिंदु से खींचे गए दो वैक्टर को कोण के साथ मानते हैं थीटा उनके बीच। हम हमेशा सबसे छोटा कोण लेते हैं, इसलिए थीटा हमेशा 0 से 180 की सीमा में रहेगा और परिणाम कभी भी नकारात्मक नहीं होगा। परिणामी वेक्टर की परिमाण निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

अगर सी = ए एक्स ख, फिर सी = अब पाप थीटा

वैक्टर (या एंटीपैरल) वैक्टर का वेक्टर उत्पाद हमेशा शून्य होता है

वेक्टर उत्पाद उन दो वैक्टरों से निर्मित विमान के लंबवत होगा। यदि आप एक मेज पर समतल होने के रूप में विमान को चित्रित करते हैं, तो प्रश्न बनता है यदि परिणामस्वरूप वेक्टर जाता है ऊपर (हमारा "टेबल" हमारे दृष्टिकोण से) या नीचे (या "तालिका में", हमारे) से परिप्रेक्ष्य)।

यह पता लगाने के लिए, आपको वह लागू करना होगा जिसे कहा जाता है दाहिने हाथ का नियम. जब मैंने स्कूल में भौतिकी का अध्ययन किया, तो मैंने नापसंद दाहिने हाथ का नियम। जब भी मैंने इसका इस्तेमाल किया, मुझे यह देखने के लिए किताब को बाहर निकालना पड़ा कि यह कैसे काम करता है। उम्मीद है कि मेरा वर्णन मेरे द्वारा पेश किए गए से थोड़ा अधिक सहज होगा।

यदि आपके पास है ए एक्स ख आप की लंबाई के साथ अपना दाहिना हाथ रखेंगे ख ताकि आपकी उंगलियां (अंगूठे को छोड़कर) साथ जाने के लिए वक्र हो सकें ए. दूसरे शब्दों में, आप कोण बनाने की कोशिश कर रहे हैं थीटा हथेली और अपने दाहिने हाथ की चार उंगलियों के बीच। इस मामले में, अंगूठे सीधे चिपके रहेंगे (या स्क्रीन से बाहर, यदि आप इसे कंप्यूटर तक करने की कोशिश करेंगे)। आपकी अंगुली लगभग दो वैक्टर के शुरुआती बिंदु के साथ पंक्तिबद्ध होगी। परिशुद्धता आवश्यक नहीं है, लेकिन मैं आपको यह विचार दिलाना चाहता हूं क्योंकि मेरे पास यह प्रदान करने के लिए तस्वीर नहीं है।

यदि, हालांकि, आप विचार कर रहे हैं ख एक्स ए, आप इसके विपरीत करेंगे। आप अपना दाहिना हाथ साथ रखेंगे ए और अपनी उंगलियों को साथ रखें ख. अगर कंप्यूटर स्क्रीन पर ऐसा करने की कोशिश कर रहे हैं, तो आपको यह असंभव लगेगा, इसलिए अपनी कल्पना का उपयोग करें। आप पाएंगे कि, इस मामले में, आपका कल्पनाशील अंग कंप्यूटर स्क्रीन की ओर इशारा कर रहा है। यह परिणामी वेक्टर की दिशा है।

दाहिने हाथ का नियम निम्नलिखित रिश्ते को दर्शाता है:

ए एक्स ख = - ख एक्स ए

cabc

सी_एक्स = ए_y ख_z - ए_z ख_y
सी_y = ए_z ख_एक्स - ए_एक्स ख_z
सी_z = ए_एक्स ख_y - ए_y ख_एक्स

अबसी_एक्ससी_yसी

उच्च स्तर पर, वैक्टर के साथ काम करने के लिए बेहद जटिल हो सकते हैं। कॉलेज में संपूर्ण पाठ्यक्रम, जैसे कि रेखीय बीजगणित, मैट्रिसेस के लिए बहुत समय समर्पित करते हैं (जो कि मुझे इस परिचय से बचना चाहिए), वैक्टर, और वेक्टर रिक्त स्थान. विस्तार का वह स्तर इस लेख के दायरे से परे है, लेकिन यह भौतिकी कक्षा में किए जाने वाले अधिकांश वेक्टर हेरफेर के लिए आवश्यक नींव प्रदान करना चाहिए। यदि आप अधिक से अधिक गहराई में भौतिकी का अध्ययन करने का इरादा कर रहे हैं, तो आप अपनी शिक्षा के माध्यम से आगे बढ़ने वाले अधिक जटिल वेक्टर अवधारणाओं से परिचित होंगे।