जब मानक विचलन शून्य के बराबर है

नमूना मानक विचलन एक वर्णनात्मक आंकड़ा है जो एक मात्रात्मक डेटा सेट के प्रसार को मापता है। यह संख्या किसी भी गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है। चूँकि शून्य एक अप्रकाशक है वास्तविक संख्या, यह पूछना सार्थक है, "नमूना मानक विचलन शून्य के बराबर कब होगा?" यह बहुत ही विशेष और अत्यधिक असामान्य स्थिति में होता है जब हमारे सभी डेटा मान बिल्कुल समान होते हैं। हम इसके कारणों का पता लगाएंगे।

डेटा सेट के बारे में आम तौर पर हम जो दो महत्वपूर्ण सवाल जवाब देना चाहते हैं उनमें शामिल हैं:

• डेटासेट का केंद्र क्या है?
• डेटा का सेट कितना फैला हुआ है?

अलग-अलग माप हैं, जिन्हें वर्णनात्मक आंकड़े कहा जाता है जो इन सवालों का जवाब देते हैं। उदाहरण के लिए, डेटा का केंद्र, जिसे डेटा के रूप में भी जाना जाता है औसत, माध्य, माध्य या विधा के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। अन्य आँकड़े, जो कम प्रसिद्ध हैं, जैसे कि उपयोग किए जा सकते हैं midhinge या त्रिमुखी।

हमारे डेटा के प्रसार के लिए, हम सीमा का उपयोग कर सकते हैं, अन्तःचतुर्थक श्रेणी या मानक विचलन। मानक विचलन को हमारे डेटा के प्रसार की मात्रा निर्धारित करने के लिए जोड़ा जाता है। हम कई डेटा सेट की तुलना करने के लिए इस नंबर का उपयोग कर सकते हैं। हमारा मानक विचलन जितना अधिक है, उतना ही अधिक प्रसार है।

तो आइए इस विवरण से विचार करें कि शून्य के मानक विचलन का क्या मतलब होगा। यह इंगित करता है कि हमारे डेटा सेट में कोई प्रसार नहीं है। व्यक्तिगत डेटा मूल्यों के सभी एक ही मूल्य पर एक साथ clumped किया जाएगा। चूंकि हमारे डेटा का केवल एक ही मूल्य हो सकता है, इसलिए यह मूल्य हमारे नमूने का मतलब होगा।

इस स्थिति में, जब हमारे सभी डेटा मान समान होते हैं, तो कोई भी भिन्नता नहीं होगी। सहज रूप से यह समझ में आता है कि इस तरह के डेटा सेट का मानक विचलन शून्य होगा।

नमूना मानक विचलन एक सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है। अतः उपरोक्त सूत्र जैसे किसी भी कथन को सिद्ध किया जाना चाहिए। हम एक डेटा सेट के साथ शुरू करते हैं जो ऊपर दिए गए विवरण पर फिट बैठता है: सभी मूल्य समान हैं, और वहाँ हैं n के बराबर मान एक्स.

हम इस डेटा सेट के माध्य की गणना करते हैं और देखते हैं कि यह है

एक्स = (एक्स + एक्स +... + एक्स)/n = NX/n = एक्स.

अब जब हम माध्य से व्यक्तिगत विचलन की गणना करते हैं, तो हम देखते हैं कि ये सभी विचलन शून्य हैं। नतीजतन, विचरण और मानक विचलन दोनों शून्य के बराबर भी हैं।

हम देखते हैं कि यदि डेटा सेट में कोई भिन्नता नहीं है, तो इसका मानक विचलन शून्य है। हम पूछ सकते हैं कि क्या उलटा यह कथन भी सत्य है। यह देखने के लिए कि क्या यह है, हम फिर से मानक विचलन के सूत्र का उपयोग करेंगे। इस बार, हालांकि, हम मानक विचलन को शून्य के बराबर सेट करेंगे। हम अपने डेटा सेट के बारे में कोई धारणा नहीं बनाएंगे, लेकिन क्या सेटिंग देखेंगे रों = 0 का तात्पर्य है

मान लीजिए कि डेटा सेट का मानक विचलन शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह होगा कि नमूना विचरण रों² भी शून्य के बराबर है। परिणाम समीकरण है:

0 = (1/(n - 1)) ∑ (एक्स_मैं - एक्स )²

हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं n - 1 और देखें कि चुकता विचलन का योग शून्य के बराबर है। चूंकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए ऐसा होने का एकमात्र तरीका शून्य के बराबर होने वाले प्रत्येक वर्ग के विचलन के लिए है। इसका मतलब है कि हर के लिए मैं, अवधि (एक्स_मैं - एक्स )² = 0.

अब हम उपरोक्त समीकरण के वर्गमूल को लेते हैं और देखते हैं कि औसत से प्रत्येक विचलन शून्य के बराबर होना चाहिए। चूंकि सभी के लिए मैं,

एक्स_मैं - एक्स = 0

इसका मतलब है कि हर डेटा वैल्यू माध्य के बराबर है। यह परिणाम ऊपर के साथ-साथ हमें यह कहने की अनुमति देता है कि डेटा सेट का नमूना मानक विचलन शून्य है यदि और केवल यदि इसके सभी मान समान हैं।