एक चीज जो गणित के बारे में बहुत अच्छी है, वह तरीका है कि विषय के असंबंधित क्षेत्र आश्चर्यजनक तरीके से एक साथ आते हैं। इसका एक उदाहरण पथरी से एक विचार का अनुप्रयोग है घंटीनुमा वक्राकार रेखा. पथरी के एक उपकरण को व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है जिसका उपयोग निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देने के लिए किया जाता है। सामान्य के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के ग्राफ पर विभक्ति बिंदु कहां हैं वितरण?
कर्व्स में विभिन्न प्रकार की विशेषताएं हैं जिन्हें वर्गीकृत और वर्गीकृत किया जा सकता है। घटता से संबंधित एक आइटम जो हम विचार कर सकते हैं कि क्या किसी फ़ंक्शन का ग्राफ बढ़ रहा है या घट रहा है। एक अन्य विशेषता किसी चीज से संबंधित है, जिसे सहमति कहा जाता है। मोटे तौर पर इस दिशा के रूप में सोचा जा सकता है कि वक्र का एक हिस्सा सामने आता है। अधिक औपचारिक रूप से संक्षिप्तता वक्रता की दिशा है।
वक्र के एक भाग को यू अक्षर के आकार का होने पर अवतल कहा जाता है। एक वक्र का एक हिस्सा नीचे अवतल होता है यदि इसे निम्न is के आकार का बनाया जाता है। यह याद रखना आसान है कि यह कैसा दिखता है अगर हम एक गुफा के बारे में सोचते हैं या तो अवतल के लिए ऊपर की ओर या नीचे की ओर अवतल के लिए ऊपर की ओर खुलते हैं। एक विभक्ति बिंदु वह जगह होती है जहां एक वक्र, अवतलता को बदलता है। दूसरे शब्दों में, यह एक बिंदु है जहां एक वक्र अवतल से अवतल तक जाता है, या इसके विपरीत।
कैलकुलस में व्युत्पन्न एक उपकरण है जो विभिन्न तरीकों से उपयोग किया जाता है। जबकि व्युत्पन्न का सबसे प्रसिद्ध उपयोग किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्श रेखा के ढलान को निर्धारित करना है, अन्य अनुप्रयोग हैं। इन अनुप्रयोगों में से एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं को खोजने के साथ करना है।
अगर का ग्राफ y = f (x) में एक विभक्ति बिंदु है x = ए, फिर दूसरा व्युत्पन्न च पर मूल्यांकन किया ए शून्य है। हम इसे गणितीय अंकन के रूप में लिखते हैं f '' (a) = 0. यदि किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक बिंदु पर शून्य है, तो यह स्वचालित रूप से इसका मतलब नहीं है कि हमने एक विभक्ति बिंदु पाया है। हालाँकि, हम संभावित विभेदन बिंदुओं को देखकर यह देख सकते हैं कि दूसरा व्युत्पन्न शून्य कहाँ है। हम सामान्य वितरण के विभक्ति बिंदुओं के स्थान को निर्धारित करने के लिए इस पद्धति का उपयोग करेंगे।
इससे यह देखना आसान है कि विभक्ति बिंदु कहाँ होते हैं x = μ ± ±. दूसरे शब्दों में विभक्ति बिंदु माध्य से एक मानक विचलन और माध्य से नीचे एक मानक विचलन स्थित हैं।