प्रतिस्थापन के साथ या बिना नमूनाकरण

सांख्यिकीय नमूना विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। नमूना विधि के प्रकार के अलावा, जिसका हम उपयोग करते हैं, विशेष रूप से एक व्यक्ति के लिए क्या होता है, इससे संबंधित एक और सवाल है जिसे हमने यादृच्छिक रूप से चुना है। यह सवाल जब नमूना लेने पर उठता है, "जब हम एक व्यक्ति का चयन करते हैं और हम जिस विशेषता का अध्ययन कर रहे हैं, उसके माप को रिकॉर्ड करते हैं, तो हम व्यक्ति के साथ क्या करते हैं?"

दो विकल्प हैं:

• हम व्यक्ति को उस पूल में वापस बदल सकते हैं, जिससे हम नमूना ले रहे हैं।
• हम व्यक्ति की जगह नहीं लेने का विकल्प चुन सकते हैं।

हम बहुत आसानी से देख सकते हैं कि ये दो अलग-अलग स्थितियों में ले जाते हैं। पहले विकल्प में, प्रतिस्थापन पत्तियां इस संभावना को खोलती हैं कि व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से दूसरी बार चुना जाता है। दूसरे विकल्प के लिए, यदि हम प्रतिस्थापन के बिना काम कर रहे हैं, तो एक ही व्यक्ति को दो बार चुनना असंभव है। हम देखेंगे कि यह अंतर इन नमूनों से संबंधित संभावनाओं की गणना को प्रभावित करेगा।

यह देखने के लिए कि हम प्रतिस्थापन को कैसे संभालते हैं संभावनाओं की गणना को प्रभावित करता है, निम्नलिखित उदाहरण प्रश्न पर विचार करें। क्या एक से दो इक्के खींचने की संभावना है

यह प्रश्न अस्पष्ट है। क्या होता है जब हम पहला कार्ड बनाते हैं? क्या हम इसे वापस डेक में डालते हैं, या क्या हम इसे छोड़ देते हैं?

हम प्रतिस्थापन के साथ संभावना की गणना के साथ शुरू करते हैं। कुल चार इक्के और 52 कार्ड हैं, इसलिए एक इक्का खींचने की संभावना 4/52 है। यदि हम इस कार्ड को प्रतिस्थापित करते हैं और फिर से आकर्षित करते हैं, तो संभावना फिर से 4/52 है। ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए हम संभाव्यता (4/52) x (4/52) = 1/169, या लगभग 892% गुणा करते हैं।

अब हम इसे उसी स्थिति से तुलना करेंगे, अपवाद के साथ कि हम कार्ड को प्रतिस्थापित नहीं करते हैं। पहले ड्रॉ पर इक्का खींचने की संभावना अभी भी 4/52 है। दूसरे कार्ड के लिए, हम मानते हैं कि एक इक्का पहले ही खींचा जा चुका है। हमें अब सशर्त संभावना की गणना करनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, हमें यह जानना होगा कि दूसरी इक्का खींचने की क्या संभावना है, यह देखते हुए कि पहला कार्ड भी एक इक्का है।

अब कुल 51 कार्डों में से तीन इक्के बचे हैं। तो एक इक्का खींचने के बाद दूसरी इक्का की सशर्त संभावना 3/51 है। प्रतिस्थापन के बिना दो इक्के खींचने की संभावना (4/52) x (3/51) = 1/221, या लगभग 0.425% है।

हम ऊपर की समस्या से सीधे देखते हैं कि प्रतिस्थापन के साथ हम जो करना चाहते हैं उसका असर संभावनाओं के मूल्यों पर पड़ता है। यह इन मूल्यों को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है।

कुछ स्थितियाँ ऐसी होती हैं जहाँ प्रतिस्थापन के साथ या उसके बिना नमूना किसी भी संभावना को नहीं बदलता है। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से 50,000 की आबादी वाले शहर से दो लोगों को चुन रहे हैं, जिनमें से 30,000 लोग महिला हैं।

यदि हम प्रतिस्थापन के साथ नमूना लेते हैं, तो पहले चयन पर एक महिला को चुनने की संभावना 30000/50000 = 60% द्वारा दी गई है। दूसरे चयन पर एक महिला की संभावना अभी भी 60% है। दोनों लोगों के महिला होने की संभावना 0.6 x 0.6 = 0.36 है।

यदि हम प्रतिस्थापन के बिना नमूना करते हैं तो पहली संभावना अप्रभावित है। दूसरी संभावना अब 29999/49999 = 0.5999919998 है... जो 60% के करीब है। संभावना है कि दोनों महिलाएं 0.6 x 0.5999919998 = 0.359995 हैं।

संभावनाएं तकनीकी रूप से भिन्न हैं, हालांकि, वे लगभग अप्रभेद्य होने के लिए पर्याप्त हैं। इस कारण से, कई बार भले ही हम प्रतिस्थापन के बिना नमूना लेते हैं, हम प्रत्येक व्यक्ति के चयन को मानते हैं जैसे कि वे नमूने में अन्य व्यक्तियों से स्वतंत्र हैं।

ऐसे अन्य उदाहरण हैं जहां हमें यह विचार करने की आवश्यकता है कि क्या प्रतिस्थापन के साथ या बिना नमूना करना है। इसका उदाहरण है बूटस्ट्रैपिंग। यह सांख्यिकीय तकनीक एक रेज़मैपलिंग तकनीक के शीर्षक के अंतर्गत आती है।

बूटस्ट्रैपिंग में हम एक जनसंख्या के सांख्यिकीय नमूने के साथ शुरू करते हैं। हम बूटस्ट्रैप नमूनों की गणना करने के लिए कंप्यूटर सॉफ्टवेयर का उपयोग करते हैं। दूसरे शब्दों में, कंप्यूटर प्रारंभिक नमूने से प्रतिस्थापन के साथ बदलता है।