में आनुमानिक आंकड़े, प्रमुख लक्ष्यों में से एक अज्ञात का अनुमान लगाना है आबादीपैरामीटर. आप ए से शुरू करते हैं सांख्यिकीय नमूना, और इस से, आप पैरामीटर के लिए कई मान निर्धारित कर सकते हैं। मूल्यों की इस सीमा को कहा जाता है विश्वास अंतराल.
विश्वास अंतराल
कॉन्फिडेंस इंटरवल सब कुछ में एक दूसरे के समान है। सबसे पहले, दो-तरफा विश्वास अंतरालों का एक ही रूप है:
आकलन ± गलती की सम्भावना
दूसरा, आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के चरण बहुत समान हैं, चाहे आप जिस प्रकार के आत्मविश्वास अंतराल की तलाश कर रहे हैं। नीचे दिए गए विशेष प्रकार के आत्मविश्वास अंतराल की जनसंख्या के लिए दो-तरफा विश्वास अंतराल होता है, जब आप आबादी जानते हैं मानक विचलन. इसके अलावा, मान लें कि आप एक आबादी के साथ काम कर रहे हैं सामान्य रुप से वितरित.
एक ज्ञात सिग्मा के साथ एक मतलब के लिए आत्मविश्वास अंतराल
नीचे वांछित आत्मविश्वास अंतराल को खोजने के लिए एक प्रक्रिया है। यद्यपि सभी चरण महत्वपूर्ण हैं, पहला विशेष रूप से ऐसा है:
- स्थितियों की जाँच करें: यह सुनिश्चित करके शुरू करें कि आपके विश्वास अंतराल के लिए शर्तों को पूरा किया गया है। मान लें कि आप जनसंख्या मानक विचलन का मूल्य जानते हैं, द्वारा निरूपित किया गया ग्रीक अक्षर सिग्मा σ इसके अलावा, एक सामान्य वितरण मान लें।
- अनुमान लगाना: जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाएं- इस मामले में, जनसंख्या का मतलब है - एक आंकड़े के उपयोग से, जो इस समस्या में नमूना का मतलब है। यह एक गठन शामिल है सरल यादृच्छिक नमूना आबादी से। कभी-कभी, आप मान सकते हैं कि आपका नमूना एक है सरल यादृच्छिक नमूना, भले ही यह सख्त परिभाषा को पूरा न करे।
- महत्वपूर्ण मान: महत्वपूर्ण मूल्य प्राप्त करें z* जो आपके आत्मविश्वास के स्तर से मेल खाती है। ये मान एक परामर्श से पाए जाते हैं z- स्कोर की तालिका या सॉफ्टवेयर का उपयोग करके। आप एक z- स्कोर तालिका का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि आप जनसंख्या मानक विचलन का मूल्य जानते हैं, और आप मानते हैं कि जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित की जाती है। सामान्य महत्वपूर्ण मूल्य 90-प्रतिशत आत्मविश्वास स्तर के लिए 1.645, 95-प्रतिशत आत्मविश्वास स्तर के लिए 1.960 और 99-प्रतिशत आत्मविश्वास स्तर के लिए 2.576 हैं।
- गलती की सम्भावना: त्रुटि के मार्जिन की गणना करें z* σ /√n, कहाँ पे n आपके द्वारा बनाए गए सरल यादृच्छिक नमूने का आकार है।
- निष्कर्ष निकालना: अनुमान और त्रुटि के मार्जिन को एक साथ रखकर समाप्त करें। इसे या तो व्यक्त किया जा सकता है आकलन ± गलती की सम्भावना या के रूप में अनुमान - त्रुटि का मार्जिन सेवा त्रुटि का अनुमान + मार्जिन। स्पष्ट रूप से बताएं आत्मविश्वास का स्तर जो आपके आत्मविश्वास अंतराल से जुड़ा हुआ है।
उदाहरण
यह देखने के लिए कि आप एक विश्वास अंतराल कैसे बना सकते हैं, एक उदाहरण के माध्यम से काम करें। मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आने वाले सभी कॉलेज के फ्रेशमैन का आईक्यू स्कोर सामान्य रूप से 15 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। आपके पास 100 नए लोगों का एक सरल यादृच्छिक नमूना है, और इस नमूने के लिए आईक्यू स्कोर 120 है। आने वाले कॉलेज के नए लोगों की पूरी आबादी के लिए आईक्यू स्कोर के लिए 90 प्रतिशत विश्वास अंतराल का पता लगाएं।
ऊपर बताए गए चरणों के माध्यम से कार्य करें:
- स्थितियों की जाँच करें: शर्तों को पूरा किया गया है क्योंकि आपको बताया गया है कि जनसंख्या मानक विचलन 15 है और आप सामान्य वितरण के साथ काम कर रहे हैं।
- अनुमान लगाना: आपको बताया गया है कि आपके पास आकार 100 का एक सरल यादृच्छिक नमूना है। इस नमूने के लिए माध्य IQ 120 है, इसलिए यह आपका अनुमान है।
- महत्वपूर्ण मान: 90 प्रतिशत आत्मविश्वास स्तर के लिए महत्वपूर्ण मूल्य द्वारा दिया गया है z* = 1.645.
- गलती की सम्भावना: उपयोग त्रुटि सूत्र का मार्जिन और की एक त्रुटि प्राप्त करते हैं z* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
- निष्कर्ष निकालना: सब कुछ एक साथ रखकर निष्कर्ष। आबादी के औसत बुद्धि स्कोर के लिए 90-प्रतिशत आत्मविश्वास अंतराल 120 percent 2.467 है। वैकल्पिक रूप से, आप इस विश्वास अंतराल को 117.5325 से 122.4675 तक बता सकते हैं।
व्यावहारिक सोच
उपरोक्त प्रकार के आत्मविश्वास अंतराल बहुत यथार्थवादी नहीं हैं। जनसंख्या मानक विचलन को जानना बहुत कम है लेकिन जनसंख्या का मतलब नहीं पता है। ऐसे तरीके हैं जिनसे इस अवास्तविक धारणा को हटाया जा सकता है।
जबकि आपने एक सामान्य वितरण मान लिया है, इस धारणा को धारण करने की आवश्यकता नहीं है। अच्छे नमूने, जो कोई मजबूत प्रदर्शन नहीं करते हैं तिरछापन या आपके पास कोई भी आउटलेर है, साथ में एक बड़ा पर्याप्त नमूना आकार, आप को आह्वान करने की अनुमति देता है केंद्रीय सीमा प्रमेय. नतीजतन, आप सामान्य रूप से वितरित नहीं होने वाली आबादी के लिए, यहां तक कि जेड-स्कोर की एक तालिका का उपयोग करने में उचित हैं।