गणितीय आंकड़ों को कभी-कभी सेट सिद्धांत के उपयोग की आवश्यकता होती है। डी मॉर्गन के नियम दो कथन हैं जो विभिन्न सेट सिद्धांत संचालन के बीच बातचीत का वर्णन करते हैं। कानून हैं कि किसी भी दो सेट के लिए ए तथा बी:
- (ए ∩ बी)सी = एसी यू बीसी.
- (ए यू बी)सी = एसी ∩ बीसी.
यह बताने के बाद कि इन कथनों में से प्रत्येक का क्या अर्थ है, हम इनमें से प्रत्येक के उदाहरण का उपयोग करेंगे।
थ्योरी ऑपरेशन सेट करें
डी मॉर्गन के नियम क्या कहते हैं, यह समझने के लिए, हमें निर्धारित सिद्धांत संचालन की कुछ परिभाषाओं को याद रखना चाहिए। विशेष रूप से, हमें इसके बारे में पता होना चाहिए संघ तथा चौराहा दो सेट और एक सेट का पूरक।
डी मॉर्गन के नियम संघ की सहभागिता, प्रतिच्छेदन और पूरक से संबंधित हैं। याद करें कि:
- सेट का चौराहा ए तथा बी सभी तत्व शामिल हैं जो दोनों के लिए सामान्य हैं ए तथा बी. चौराहे द्वारा चिह्नित किया जाता है ए ∩ बी.
- समुच्चय का संघ ए तथा बी सभी तत्वों से मिलकर बने होते हैं ए या बी, दोनों सेटों में तत्व शामिल हैं। चौराहे को ए यू बी द्वारा दर्शाया गया है।
- सेट का पूरक ए उन सभी तत्वों से युक्त होते हैं, जिनके तत्व नहीं होते हैं ए. यह पूरक ए द्वारा चिह्नित हैसी.
अब जब हमने इन प्राथमिक कार्यों को याद कर लिया है, तो हम डी मॉर्गन के नियमों का विवरण देखेंगे। सेट की हर जोड़ी के लिए ए तथा बी हमारे पास है:
- (ए ∩ बी)सी = एसी यू बीसी
- (ए यू बी)सी = एसी ∩ बीसी
इन दो कथनों का वर्णन वेन आरेखों के उपयोग से किया जा सकता है। जैसा कि नीचे देखा गया है, हम एक उदाहरण का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। यह प्रदर्शित करने के लिए कि ये कथन सत्य हैं, हमें अवश्य करना चाहिए उन्हें साबित करो सेट सिद्धांत संचालन की परिभाषाओं का उपयोग करके।
डी मॉर्गन के कानूनों का उदाहरण
उदाहरण के लिए, के सेट पर विचार करें वास्तविक संख्याये 0 से 5 तक। हम इसे अंतराल अंकन [0, 5] में लिखते हैं। इस सेट के भीतर हमारे पास है ए = [१, ३] और बी = [2, 4]. इसके अलावा, हमारे प्राथमिक कार्यों को लागू करने के बाद:
- पूरक एसी = [०, १) यू (३, ५]
- पूरक बीसी = [०, २) यू (४, ५]
- संगठन ए यू बी = [1, 4]
- चौराहा ए ∩ बी = [2, 3]
हम संघ की गणना करके शुरू करते हैं एसी यू बीसी. हम देखते हैं कि [0, 1) U (3, 5] का संघ [0, 2) U (4, 5) के साथ है [0, 2) U (3, 5]। चौराहा ए ∩ बी [२, ३] है। हम देखते हैं कि इस सेट का पूरक [२, ३] भी [०, २) यू (३, ५] है। इस तरह हमने वह प्रदर्शन किया है एसी यू बीसी = (ए ∩ बी)सी.
अब हम [0, 1) U (3, 5] के चौराहे को [0, 2) U (4, 5) के साथ देखते हैं, [0, 1) U (4, 5]। हम यह भी देखते हैं कि [1, 4] का पूरक भी [0, 1) U (4, 5] है। इस तरह हमने वह प्रदर्शन किया है एसी ∩ बीसी = (ए यू बी)सी.
डी मॉर्गन के कानूनों का नामकरण
तर्क के इतिहास के दौरान, जैसे लोग अरस्तू और ओखम के विलियम ने डी मॉर्गन के नियमों के बराबर बयान दिया है।
डी मॉर्गन के कानून ऑगस्टस डी मॉर्गन के नाम पर हैं, जो 1806-1871 तक रहते थे। हालाँकि उन्होंने इन कानूनों की खोज नहीं की थी, लेकिन उन्होंने पहली बार इन बयानों को औपचारिक रूप से प्रस्तावना तर्क में गणितीय सूत्रीकरण का उपयोग करते हुए पेश किया था।