थ्योरी सेट करें और इसका उपयोग कैसे किया जाता है

सेट सिद्धांत गणित के सभी में एक मौलिक अवधारणा है। गणित की यह शाखा अन्य विषयों के लिए एक आधार बनाती है।

सहज रूप से एक सेट वस्तुओं का एक संग्रह है, जिसे तत्व कहा जाता है। हालांकि यह एक सरल विचार की तरह लगता है, इसके कुछ दूरगामी परिणाम हैं।

एक सेट के तत्व वास्तव में कुछ भी हो सकते हैं - संख्याएं, राज्य, कार, लोग या यहां तक ​​कि अन्य सेट तत्वों के लिए सभी संभावनाएं हैं। बस एक साथ एकत्र की जा सकने वाली किसी भी चीज़ के बारे में सेट बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, हालांकि कुछ चीजें हैं जिनके बारे में हमें सावधान रहना चाहिए।

सेट के तत्व या तो सेट में होते हैं या सेट में नहीं होते हैं। हम एक सेट को परिभाषित करने वाली संपत्ति द्वारा वर्णित कर सकते हैं, या हम सेट में तत्वों को सूचीबद्ध कर सकते हैं। वे सूचीबद्ध हैं जो आदेश महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए सेट {1, 2, 3} और {1, 3, 2} समान सेट हैं, क्योंकि वे दोनों में समान तत्व होते हैं।

दो सेट विशेष उल्लेख के पात्र हैं। पहला सार्वभौमिक सेट है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है यू. यह सेट उन सभी तत्वों में से है जिन्हें हम चुन सकते हैं। यह सेट एक सेटिंग से दूसरे में भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सार्वभौमिक सेट का सेट हो सकता है

दूसरे सेट को जिस पर कुछ ध्यान देने की आवश्यकता होती है उसे कहा जाता है खाली सेट. खाली सेट अद्वितीय सेट है जिसमें कोई तत्व नहीं है। हम इसे {} के रूप में लिख सकते हैं और इस सेट को प्रतीक {द्वारा निरूपित कर सकते हैं।

एक सेट के कुछ तत्वों का एक संग्रह ए कहा जाता है a सबसेट का ए. हम कहते हैं कि ए का सबसेट है बी अगर और केवल अगर हर तत्व ए का एक तत्व भी है बी. यदि एक परिमित संख्या हैं n तत्वों का एक सेट में, तो कुल 2 हैंⁿ का सबसेट ए. के सभी सबसेट का यह संग्रह ए एक सेट है जिसे कहा जाता है सत्ता स्थापित का ए.

जिस तरह हम एक नया नंबर प्राप्त करने के लिए दो नंबरों पर - जैसे जोड़ के रूप में संचालन कर सकते हैं, सेट सिद्धांत संचालन का उपयोग दो अन्य सेटों से एक सेट बनाने के लिए किया जाता है। कई ऑपरेशन हैं, लेकिन लगभग सभी निम्नलिखित तीन ऑपरेशनों से बने हैं:

• संघ - एक संघ एक साथ लाने का संकेत देता है। समुच्चय का संघ ए तथा बी उन तत्वों से युक्त हैं जो या तो हैं ए या बी.
• चौराहा - एक चौराहा है जहाँ दो चीजें मिलती हैं। सेट का चौराहा ए तथा बी तत्वों के होते हैं कि दोनों में ए तथा बी.
• पूरक हैं - सेट का पूरक ए सार्वभौमिक सेट में उन सभी तत्वों से मिलकर बने होते हैं जिनके तत्व नहीं होते हैं ए.

एक उपकरण जो विभिन्न सेटों के बीच संबंधों को दर्शाने में सहायक होता है, उसे वेन आरेख कहा जाता है। एक आयत हमारी समस्या के लिए सार्वभौमिक सेट का प्रतिनिधित्व करती है। प्रत्येक सेट को एक सर्कल के साथ दर्शाया गया है। यदि मंडल एक दूसरे के साथ ओवरलैप करते हैं, तो यह हमारे दो सेटों के प्रतिच्छेदन को दिखाता है।

सेट सिद्धांत का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह गणित के कई उपक्षेत्रों की नींव के रूप में उपयोग किया जाता है। आँकड़ों से संबंधित क्षेत्रों में, यह विशेष रूप से प्रायिकता में उपयोग किया जाता है। प्रायिकता में अधिकांश अवधारणाएँ सेट सिद्धांत के परिणामों से ली गई हैं। दरअसल, राज्य का एक तरीका है संभावना के स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत शामिल है।