एक शिक्षक द्वारा एक पाठ्यपुस्तक में छपे फॉर्मूले को देखने या बोर्ड पर लिखे जाने के बाद, यह कभी-कभी आश्चर्यजनक होता है यह पता लगाने के लिए कि इनमें से कई सूत्र कुछ मौलिक परिभाषाओं और सावधानीपूर्वक विचार से प्राप्त किए जा सकते हैं। संयोजनों के फार्मूले की जांच करते समय यह संभावना में विशेष रूप से सच है। इस सूत्र की व्युत्पत्ति वास्तव में गुणन सिद्धांत पर निर्भर करती है।
गुणन सिद्धांत
मान लीजिए कि कोई कार्य करना है और यह कार्य कुल दो चरणों में टूट गया है। में पहला कदम रखा जा सकता है क तरीके और दूसरे चरण में किया जा सकता है n तरीके। इसका मतलब है कि उसके बाद गुणा ये संख्याएँ एक साथ, कार्य करने के तरीकों की संख्या है nk.
उदाहरण के लिए, यदि आपके पास चुनने के लिए दस प्रकार की आइसक्रीम है और तीन अलग-अलग टॉपिंग हैं, तो आप कितने स्कूप, टॉपिंग सॉन्ग्स बना सकते हैं? 30 sundaes पाने के लिए 10 से तीन गुणा करें।
क्रमपरिवर्तन करना
अब, संयोजन के संख्या के लिए सूत्र को प्राप्त करने के लिए गुणन सिद्धांत का उपयोग करें आर तत्वों का एक सेट से लिया n तत्वों। चलो पी एन आर) की संख्या निरूपित करें क्रमपरिवर्तन का
आर के एक सेट से तत्वों n तथा सी (एन, आर) के संयोजन की संख्या को निरूपित करें आर के एक सेट से तत्वों n तत्वों।के क्रमपरिवर्तन के दौरान क्या होता है, इसके बारे में सोचें आर तत्वों की कुल से n. इसे दो-चरणीय प्रक्रिया के रूप में देखें। सबसे पहले, का एक सेट चुनें आर के एक सेट से तत्वों n. यह एक संयोजन है और वहाँ हैं सी(n, r) ऐसा करने के तरीके। प्रक्रिया का दूसरा चरण ऑर्डर करना है आर तत्वों के साथ आर पहले के लिए विकल्प, आर - दूसरे के लिए 1 विकल्प, आर - तीसरे के लिए 2, पेनल्टी के लिए 2 और आखिरी के लिए 1 विकल्प। गुणन सिद्धांत द्वारा, होते हैं आर एक्स (आर -1) एक्स।.. x 2 x 1 = आर! इसे करने के तरीके। इस सूत्र के साथ लिखा है तथ्यात्मक संकेतन.
सूत्र की व्युत्पत्ति
संक्षेप में दुहराना, पी(n,आर ), के क्रमपरिवर्तन के तरीकों की संख्या आर तत्वों की कुल से n इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है:
- का संयोजन तैयार करना आर कुल तत्वों में से तत्व n में से किसी एक में सी(n,आर ) तरीके
- इनको आदेश देना आर तत्वों में से किसी एक आर! तरीके।
गुणन सिद्धांत द्वारा, क्रमचय बनाने के तरीकों की संख्या है पी(n,आर ) = सी(n,आर ) एक्स आर!.
क्रमपरिवर्तन के लिए सूत्र का उपयोग करना पी(n,आर ) = n!/(n - आर)!, जिसे उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
n!/(n - आर)! = सी(n,आर ) आर!.
अब इसे हल करें, संयोजनों की संख्या, सी(n,आर ), और देखें कि सी(n,आर ) = n!/[आर!(n - आर)!].
जैसा कि प्रदर्शित किया गया है, थोड़ा सा विचार और बीजगणित एक लंबा रास्ता तय कर सकता है। संभाव्यता और सांख्यिकी में अन्य सूत्र भी परिभाषाओं के कुछ सावधान अनुप्रयोगों के साथ प्राप्त किए जा सकते हैं।