एक द्विपद यादृच्छिक चर का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रदान करता है अलग अनियमित चर। द्विपद वितरण, जो हमारे यादृच्छिक चर के प्रत्येक मूल्य के लिए संभाव्यता का वर्णन करता है, दो मापदंडों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है: n तथा पी। यहाँ n स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या और है पी प्रत्येक परीक्षण में सफलता की निरंतर संभावना है। नीचे दी गई तालिकाएँ के लिए द्विपदीय संभावनाएँ प्रदान करती हैं n = 7,8 और 9। प्रत्येक में संभावनाएँ तीन दशमलव स्थानों पर होती हैं।
चाहिए एक द्विपद वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए?. इस तालिका का उपयोग करने के लिए कूदने से पहले, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि निम्नलिखित शर्तें पूरी की गई हैं:
- हमारे पास टिप्पणियों या परीक्षणों की एक सीमित संख्या है।
- प्रत्येक परीक्षण के परिणाम को या तो सफलता या विफलता के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।
- सफलता की संभावना निरंतर बनी रहती है।
- अवलोकन एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।
जब इन चार शर्तों को पूरा किया जाता है, तो द्विपद वितरण की संभावना देगा आर कुल के साथ एक प्रयोग में सफलता n स्वतंत्र परीक्षण, प्रत्येक में सफलता की संभावना है पी. तालिका में संभावनाओं की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
सी(n, आर)पीआर(1 - पी)n - आर कहाँ पे सी(n, आर) का सूत्र है संयोजन. के प्रत्येक मान के लिए अलग-अलग टेबल हैं एन। तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि के मूल्यों द्वारा आयोजित की जाती है पी और का आर।अन्य तालिकाओं
अन्य द्विपद वितरण सारणियों के लिए हमारे पास है n = 2 से 6, n = 10 से 11. जब के मूल्यों एनपी तथा n(1 - पी) दोनों 10 से अधिक या बराबर हैं, हम उपयोग कर सकते हैं द्विपद वितरण के लिए सामान्य सन्निकटन. यह हमें हमारी संभावनाओं का एक अच्छा अनुमान देता है और द्विपद गुणांक की गणना की आवश्यकता नहीं है। यह एक महान लाभ प्रदान करता है क्योंकि ये द्विपद गणना काफी शामिल हो सकते हैं।
उदाहरण
जेनेटिक्स संभावना के लिए कई कनेक्शन हैं। हम द्विपद वितरण के उपयोग का वर्णन करने के लिए एक को देखेंगे। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि एक वंशज जीन की दो प्रतियों को विरासत में पाने वाली संतान की संभावना (और इसलिए हम जो अध्ययन कर रहे हैं, उसके पास होने वाले लक्षण हैं) 1/4 है।
इसके अलावा, हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि आठ सदस्यीय परिवार में कुछ निश्चित बच्चों के पास यह विशेषता है। चलो एक्स इस विशेषता वाले बच्चों की संख्या हो। हम तालिका के लिए देखते हैं n = 8 और कॉलम के साथ पी = 0.25, और निम्नलिखित देखें:
.100
.267.311.208.087.023.004
इसका मतलब है कि हमारे उदाहरण के लिए
- P (X = 0) = 10.0%, जो इस बात की संभावना है कि बच्चों में से किसी को भी आवर्ती लक्षण नहीं है।
- P (X = 1) = 26.7%, जो इस बात की संभावना है कि बच्चों में से किसी एक का पुनरावर्ती गुण है।
- पी (एक्स = 2) = 31.1%, जो इस बात की संभावना है कि बच्चों में से दो में आवर्ती लक्षण हैं।
- P (X = 3) = 20.8%, जो इस बात की संभावना है कि तीन बच्चों में पुनरावर्ती लक्षण हैं।
- P (X = 4) = 8.7%, जो इस बात की संभावना है कि चार बच्चों में पुनरावर्ती लक्षण हैं।
- P (X = 5) = 2.3%, जो इस बात की संभावना है कि पांच बच्चों में पुनरावर्ती लक्षण हैं।
- पी (एक्स = 6) = 0.4%, जो संभावना है कि छह बच्चों में पुनरावर्ती लक्षण हैं।
N = 7 से n = 9 के लिए तालिकाओं
n = 7
| पी | .01 | .05 | .10 | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| आर | 0 | .932 | .698 | .478 | .321 | .210 | .133 | .082 | .049 | .028 | .015 | .008 | .004 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .066 | .257 | .372 | .396 | .367 | .311 | .247 | .185 | .131 | .087 | .055 | .032 | .017 | .008 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .002 | .041 | .124 | .210 | .275 | .311 | .318 | .299 | .261 | .214 | .164 | .117 | .077 | .047 | .025 | .012 | .004 | .001 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .004 | .023 | .062 | .115 | .173 | .227 | .268 | .290 | .292 | .273 | .239 | .194 | .144 | .097 | .058 | .029 | .011 | .003 | .000 | |
| 4 | .000 | .000 | .003 | .011 | .029 | .058 | .097 | .144 | .194 | .239 | .273 | .292 | .290 | ;268 | .227 | .173 | .115 | .062 | .023 | .004 | |
| 5 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .012 | .025 | .047 | .077 | .117 | .164 | .214 | .261 | .299 | .318 | .311 | .275 | .210 | .124 | .041 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .008 | .017 | .032 | .055 | .087 | .131 | .185 | .247 | .311 | .367 | .396 | .372 | .257 | |
| 7 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .004 | .008 | .015 | .028 | .049 | .082 | .133 | .210 | .321 | .478 | .698 |
n = 8
| पी | .01 | .05 | .10 | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| आर | 0 | .923 | .663 | .430 | .272 | .168 | .100 | .058 | .032 | .017 | .008 | .004 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .075 | .279 | .383 | .385 | .336 | .267 | .198 | .137 | .090 | .055 | .031 | .016 | .008 | .003 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .003 | .051 | .149 | .238 | .294 | .311 | .296 | .259 | .209 | .157 | .109 | .070 | .041 | .022 | .010 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .005 | .033 | .084 | .147 | .208 | .254 | .279 | .279 | .257 | .219 | .172 | .124 | .081 | .047 | .023 | .009 | .003 | .000 | .000 | |
| 4 | .000 | .000 | .005 | :018 | .046 | .087 | .136 | .188 | .232 | .263 | .273 | .263 | .232 | .188 | .136 | .087 | .046 | .018 | .005 | .000 | |
| 5 | .000 | .000 | .000 | .003 | .009 | .023 | .047 | .081 | .124 | .172 | .219 | .257 | .279 | .279 | .254 | .208 | .147 | .084 | .033 | .005 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .010 | .022 | .041 | .070 | .109 | .157 | .209 | .259 | .296 | .311 | .294 | .238 | .149 | .051 | |
| 7 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .003 | .008 | .016 | .031 | .055 | .090 | .137 | .198 | .267 | .336 | .385 | .383 | .279 | |
| 8 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | 000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .004 | .008 | .017 | .032 | .058 | .100 | .168 | .272 | .430 | .663 |
n = 9
| आर | पी | .01 | .05 | .10 | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 |
| 0 | .914 | .630 | .387 | .232 | .134 | .075 | .040 | .021 | .010 | .005 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 1 | .083 | .299 | .387 | .368 | .302 | .225 | .156 | .100 | .060 | .034 | .018 | .008 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .003 | .063 | .172 | .260 | .302 | .300 | .267 | .216 | .161 | .111 | .070 | .041 | .021 | .010 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .008 | .045 | .107 | .176 | .234 | .267 | .272 | .251 | .212 | .164 | .116 | .074 | .042 | .021 | .009 | .003 | .001 | .000 | .000 | |
| 4 | .000 | .001 | .007 | .028 | .066 | .117 | .172 | .219 | .251 | .260 | .246 | .213 | .167 | .118 | .074 | .039 | .017 | .005 | .001 | .000 | |
| 5 | .000 | .000 | .001 | .005 | .017 | .039 | .074 | .118 | .167 | .213 | .246 | .260 | .251 | .219 | .172 | .117 | .066 | .028 | .007 | .001 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .001 | .003 | .009 | .021 | .042 | .074 | .116 | .164 | .212 | .251 | .272 | .267 | .234 | .176 | .107 | .045 | .008 | |
| 7 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .010 | .021 | .041 | .070 | .111 | .161 | .216 | .267 | .300 | .302 | .260 | .172 | .063 | |
| 8 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .008 | .018 | .034 | .060 | .100 | .156 | .225 | .302 | .368 | .387 | .299 | |
| 9 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .005 | .010 | .021 | .040 | .075 | .134 | .232 | .387 | .630 |