गणित और सांख्यिकी में तथ्य (!)

गणित में, जो प्रतीक हैं अंग्रेजी भाषा में कुछ अर्थ बहुत विशिष्ट और विभिन्न चीजों का मतलब हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

3!

नहीं, हमने उपयोग नहीं किया विस्मयादिबोधक बिंदु यह दिखाने के लिए कि हम तीन के बारे में उत्साहित हैं, और हमें जोर देकर अंतिम वाक्य नहीं पढ़ना चाहिए। गणित में, अभिव्यक्ति 3! को "तीन तथ्यात्मक" के रूप में पढ़ा जाता है और वास्तव में लगातार कई संख्याओं के गुणन को निरूपित करने का एक संक्षिप्त तरीका है।

चूंकि पूरे गणित और आँकड़ों में कई जगह हैं जहाँ हमें एक साथ संख्याएँ गुणा करने की आवश्यकता होती है, फिर भी यह तथ्य काफी उपयोगी है। कुछ मुख्य स्थानों पर जहां यह पता चलता है कि कॉम्बिनेटरिक्स और संभावना है गणना.

भाज्य की परिभाषा यह है कि किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए n:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x।.. x 2 x 1

पहले हम इस तथ्य के कुछ उदाहरणों को देखेंगे जिनमें छोटे मान हैं n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
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• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

जैसा कि हम देख सकते हैं कि फैक्टरियल बहुत बड़ी हो जाती है। कुछ ऐसा जो छोटा लग सकता है, जैसे कि 20! वास्तव में 19 अंक हैं।

गुणनखंडों की गणना करना आसान है, लेकिन वे गणना करने के लिए कुछ हद तक थकाऊ हो सकते हैं। सौभाग्य से, कई कैलकुलेटरों में एक तथ्यात्मक कुंजी (देखो के लिए) है! प्रतीक)। कैलकुलेटर का यह कार्य गुणकों को स्वचालित करेगा।

भाज्य का एक और मूल्य और जिसके लिए ऊपर मानक परिभाषा नहीं है, वह है शून्य तथ्य. यदि हम सूत्र का पालन करते हैं, तो हम 0 के लिए किसी भी मूल्य पर नहीं पहुंचेंगे। 0 से कम कोई सकारात्मक पूर्ण संख्या नहीं हैं। कई कारणों से, 0 को परिभाषित करना उचित है! = 1. इस मान के लिए भाज्य विशेष रूप से सूत्र में दिखाई देता है संयोजन और क्रमपरिवर्तन.

गणना के साथ काम करते समय, यह सोचने के लिए महत्वपूर्ण है कि इससे पहले कि हम अपने कैलकुलेटर पर तथ्यात्मक कुंजी दबाएं। 100 /! 98 जैसी अभिव्यक्ति की गणना करने के लिए! इस बारे में जाने के विभिन्न तरीके हैं।

एक तरीका है एक का उपयोग करने के लिए कैलकुलेटर दोनों को खोजने के लिए 100! और 98!, फिर एक दूसरे को विभाजित करें। यद्यपि यह गणना करने का एक सीधा तरीका है, लेकिन इसके साथ कुछ कठिनाइयां जुड़ी हुई हैं। कुछ कैलकुलेटर 100 के रूप में बड़े रूप में अभिव्यक्ति को संभाल नहीं सकते हैं! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (अभिव्यक्ति १०¹⁵⁷ एक वैज्ञानिक संकेतन है जिसका अर्थ है कि हम 1 से गुणा करते हैं, उसके बाद 157 शून्य हैं।) न केवल यह संख्या बड़े पैमाने पर है, बल्कि यह केवल 100 के वास्तविक मूल्य का अनुमान भी है!

एक तरह से फैक्टरियल के साथ एक अभिव्यक्ति को आसान बनाने के लिए यहां देखे गए किसी भी कैलकुलेटर की आवश्यकता नहीं है। इस समस्या से निपटने का तरीका यह है कि हम 100 को फिर से लिखें! 100 x 99 x 98 x 97 x के रूप में नहीं।.. x 2 x 1, बल्कि 100 x 99 x 98 के रूप में! अभिव्यक्ति 100! / 98! अब बन जाता है (100 x 99 x 98!) / 98 = 100 x 99 = 9900।