गणित में संघ की परिभाषा और उपयोग

एक ऑपरेशन जिसे अक्सर पुराने से नए सेट बनाने के लिए उपयोग किया जाता है उसे संघ कहा जाता है। सामान्य उपयोग में, शब्द संघ एक साथ लाने का संकेत देता है, जैसे कि संगठित श्रम में संघ या संघ का राज्य पता है कि यू.एस. अध्यक्ष कांग्रेस के संयुक्त सत्र से पहले बनाता है। गणितीय अर्थ में, दो सेटों का मिलन एक साथ लाने के इस विचार को बनाए रखता है। अधिक सटीक रूप से, दो सेटों का मिलन ए तथा बी सभी तत्वों का समूह है एक्स ऐसा है कि एक्स सेट का एक तत्व है ए या एक्स सेट का एक तत्व है बी. शब्द जो दर्शाता है कि हम एक संघ का उपयोग कर रहे हैं वह शब्द है "या।"

जब हम दिन-प्रतिदिन की बातचीत में "या" शब्द का उपयोग करते हैं, तो हमें महसूस नहीं हो सकता है कि इस शब्द का उपयोग दो अलग-अलग तरीकों से किया जा रहा है। रास्ता आमतौर पर बातचीत के संदर्भ से अनुमान लगाया जाता है। अगर आपसे पूछा गया कि "क्या आप चिकन या स्टेक पसंद करेंगे?" सामान्य निहितार्थ यह है कि आपके पास एक या दूसरे हो सकते हैं, लेकिन दोनों नहीं। इस सवाल के विपरीत, "क्या आप अपने पके हुए आलू पर मक्खन या खट्टा क्रीम पसंद करेंगे?" यहाँ "या" है उस में समावेशी अर्थ में प्रयोग किया जाता है कि आप केवल मक्खन, केवल खट्टा क्रीम या मक्खन और खट्टा दोनों चुन सकते हैं मलाई।

गणित में, "या" शब्द का प्रयोग समावेशी अर्थ में किया जाता है। तो बयान, "एक्स का एक तत्व है ए या का एक तत्व बी"इसका मतलब है कि तीन में से एक संभव है:

• एक्स का एक तत्व है ए और का तत्व नहीं बी
• एक्स का एक तत्व है बी और का तत्व नहीं ए.
• एक्स दोनों का एक तत्व है ए तथा बी. (हम यह भी कह सकते हैं एक्स के चौराहे का एक तत्व है ए तथा बी

दो सेटों का मिलन एक नया सेट कैसे बनता है, इस उदाहरण के लिए, आइए सेटों पर विचार करें ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. इन दो सेटों के मिलन के लिए, हम बस हर उस तत्व को सूचीबद्ध करते हैं, जिसे हम देखते हैं, किसी भी तत्व की नक़ल न करने के लिए सावधान रहें। संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 या तो एक सेट या दूसरे में हैं, इसलिए संघ ए तथा बी {१, २, ३, ४, ५, ६} है।

सेट सिद्धांत संचालन से संबंधित अवधारणाओं को समझने के अलावा, इन कार्यों को निरूपित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों को पढ़ने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। प्रतीक का उपयोग दो सेटों के मिलन के लिए किया जाता है ए तथा बी द्वारा दिया गया है ए ∪ बी. प्रतीक को याद करने का एक तरीका ∪ संघ को संदर्भित करता है, जो कि राजधानी U के समान है शब्द "संघ" के लिए कम। सावधान रहें, क्योंकि संघ के लिए प्रतीक के लिए प्रतीक के समान है चौराहा. एक ऊर्ध्वाधर फ्लिप द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है।

कार्रवाई में इस अंकन को देखने के लिए, उपरोक्त उदाहरण को देखें। यहां हमारे पास सेट थे ए = {1, 2, 3, 4, 5} और बी = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. इसलिए हम सेट समीकरण लिखेंगे ए ∪ बी = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

एक बुनियादी पहचान जिसमें संघ शामिल होता है वह हमें दिखाता है कि जब हम किसी भी सेट के संघ को खाली सेट के साथ लेते हैं, तो उसे # 8709 द्वारा दर्शाया जाता है। खाली सेट बिना किसी तत्व के सेट है। इसलिए इसे किसी अन्य सेट में शामिल करने से कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। दूसरे शब्दों में, खाली सेट के साथ किसी भी सेट का संघ हमें मूल सेट वापस देगा

यह पहचान हमारे अंकन के उपयोग के साथ और भी अधिक कॉम्पैक्ट हो जाती है। हमारी पहचान है: ए ∪ ∅ = ए.

दूसरे चरम के लिए, जब हम जांच करते हैं तो क्या होता है एक सेट का संघ सार्वभौमिक सेट के साथ? चूंकि सार्वभौमिक सेट में हर तत्व होता है, इसलिए हम इसमें और कुछ नहीं जोड़ सकते। तो सार्वभौमिक सेट के साथ संघ या कोई भी सेट सार्वभौमिक सेट है।

फिर से हमारा अंकन हमें इस पहचान को और अधिक कॉम्पैक्ट प्रारूप में व्यक्त करने में मदद करता है। किसी भी सेट के लिए ए और सार्वभौमिक सेट यू, ए ∪ यू = यू.

कई और अधिक निर्धारित पहचान हैं जिनमें संघ के संचालन का उपयोग शामिल है। बेशक, यह हमेशा अच्छा होता है अभ्यास सेट सिद्धांत की भाषा का उपयोग करना। अधिक महत्वपूर्ण कुछ नीचे दिए गए हैं। सभी सेटों के लिए ए, तथा बी तथा डी हमारे पास है:

• पलटा संपत्ति: ए ∪ ए =ए
• क्रमचयी गुणधर्म: ए ∪ बी = बी ∪ ए
• संबंधी संपत्ति: (ए ∪ बी) ∪ डी =ए ∪ (बी ∪ डी)
• DeMorgan का नियम I: (ए ∩ बी)^सी = ए^सी ∪ बी^सी
• DeMorgan का नियम II: (ए ∪ बी)^सी = ए^सी ∩ बी^सी