पथरी क्या है? परिभाषा और व्यावहारिक अनुप्रयोग

कलन गणित की एक शाखा है जिसमें परिवर्तन की दरों का अध्ययन शामिल है। कैलकुलस का आविष्कार करने से पहले, सभी गणित स्थिर थे: यह केवल उन वस्तुओं की गणना करने में मदद कर सकता था जो पूरी तरह से अभी भी थे। लेकिन ब्रह्मांड लगातार घूम रहा है और बदल रहा है। अंतरिक्ष में सितारों से लेकर शरीर में उप-परमाणु कणों या कोशिकाओं तक कोई भी वस्तु-हमेशा आराम पर नहीं होती है। दरअसल, ब्रह्मांड में हर चीज के बारे में लगातार बात हो रही है। कैलकुलस ने यह निर्धारित करने में मदद की कि कण, तारे और पदार्थ वास्तव में कैसे चलते हैं और वास्तविक समय में बदलते हैं।

पथरी का उपयोग उन क्षेत्रों की भीड़ में किया जाता है जिन्हें आप आमतौर पर ऐसा नहीं सोचते होंगे कि वे इसकी अवधारणाओं का उपयोग करेंगे। इनमें भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी और चिकित्सा शामिल हैं। पथरी का उपयोग ऐसे विषम क्षेत्रों में अंतरिक्ष यात्रा के साथ-साथ यह निर्धारित करने के लिए भी किया जाता है कि दवाएं शरीर के साथ कैसे संपर्क करती हैं, और यहां तक ​​कि सुरक्षित संरचनाओं का निर्माण कैसे किया जाता है। आप समझेंगे कि कैलकुलस इतने सारे क्षेत्रों में उपयोगी क्यों है यदि आप इसके इतिहास के बारे में थोड़ा-बहुत जानते हैं और साथ ही इसे क्या करने और मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

मुख्य तकिए: पथरी के मौलिक सिद्धांत

कलन का विकास 17 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में दो गणितज्ञों, गोटफ्राइड लीबनिज़ और द्वारा किया गया था आइजैक न्यूटन. न्यूटन ने पहली बार पथरी का विकास किया और इसे सीधे शारीरिक प्रणालियों की समझ पर लागू किया। स्वतंत्र रूप से, लीबनिज ने पथरी में उपयोग की जाने वाली धारणाओं को विकसित किया। सीधे शब्दों में कहें, जबकि मूल गणित प्लस, माइनस, टाइम और डिवीजन (+, -, x, और us) जैसे ऑपरेशन का उपयोग करता है, तो कैलकुलस उन ऑपरेशनों का उपयोग करता है जो रोजगार देते हैं कार्य और अभिन्न परिवर्तन की दरों की गणना करने के लिए।

उन उपकरणों ने न्यूटन, लीबनिज और अन्य गणितज्ञों को अनुमति दी, जो किसी भी बिंदु पर वक्र की सटीक ढलान जैसी चीजों की गणना करने के लिए पीछा करते थे। गणित की कहानी पथरी के न्यूटन के मौलिक प्रमेय के महत्व को बताते हैं:

"यूनानियों के स्थिर ज्यामिति के विपरीत, कैलकुलस ने गणितज्ञों और इंजीनियरों को समझ बनाने की अनुमति दी हमारे आसपास की बदलती दुनिया में गति और गतिशील परिवर्तन, जैसे कि ग्रहों की कक्षाएँ, द्रव्यों की गति, आदि।"

पथरी, वैज्ञानिकों, खगोलविदों, भौतिकविदों, गणितज्ञों और रसायनज्ञों का उपयोग करके अब ग्रहों और सितारों की कक्षा, साथ ही साथ परमाणु स्तर पर इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉन के पथ का चार्ट बनाया जा सकता है।

पथरी की दो शाखाएँ हैं: अंतर और अभिन्न कलन। मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में "विभेदक कलन, व्युत्पन्न और अभिन्न कलन का अध्ययन करता है... अभिन्न।" लेकिन वहां उसकी अपेक्षा इससे अधिक है। विभेदक पथरी एक मात्रा के परिवर्तन की दर निर्धारित करती है। यह ढलानों और घटता के परिवर्तन की दरों की जांच करता है।

यह शाखा विशेष रूप से डेरिवेटिव और अंतर के उपयोग के माध्यम से अपने चर के संबंध में कार्यों के परिवर्तन की दर के अध्ययन से संबंधित है। व्युत्पन्न एक ग्राफ पर एक रेखा का ढलान है। आप गणना करके रेखा की ढलान पाते हैं दौड़कर उठना.

समाकलन गणित, इसके विपरीत, उस मात्रा को ढूंढना चाहता है जहां परिवर्तन की दर ज्ञात हो। यह शाखा स्पर्शरेखा रेखाओं और वेगों की ढलान जैसी अवधारणाओं पर केंद्रित है। जबकि अंतर पथरी वक्र पर केंद्रित है, अंतरिक्ष या क्षेत्र के साथ अभिन्न कलन अपने आप में चिंता का विषय है के अंतर्गत वक्र। इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग कुल आकार या मूल्य, जैसे कि लंबाई, क्षेत्र और वॉल्यूम का पता लगाने के लिए किया जाता है।

कैलकुलस ने इसमें एक अभिन्न भूमिका निभाई नेविगेशन का विकास 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में क्योंकि इसने नाविकों को स्थानीय समय का सटीक निर्धारण करने के लिए चंद्रमा की स्थिति का उपयोग करने की अनुमति दी थी। समुद्र में अपनी स्थिति को चार्ट करने के लिए, नाविकों को सटीकता के साथ समय और कोण दोनों को मापने में सक्षम होना चाहिए। पथरी के विकास से पहले, जहाज नाविक और कप्तान न तो कर सकते थे।

पथरी - व्युत्पन्न और अभिन्न दोनों - पृथ्वी की वक्र के संदर्भ में इस महत्वपूर्ण अवधारणा की समझ को बेहतर बनाने में मदद की, दूरी के जहाजों को एक विशिष्ट स्थान पर पहुंचने के लिए एक वक्र के चारों ओर यात्रा करना पड़ता था, और यहां तक ​​कि पृथ्वी, समुद्र और जहाजों के संरेखण के संबंध में सितारे।

कैलकुलस के पास वास्तविक जीवन में कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। कुछ के गणनाओं का उपयोग करने वाली अवधारणाएँ गति, बिजली, गर्मी, प्रकाश, हार्मोनिक्स, ध्वनिकी और खगोल विज्ञान शामिल हैं। पथरी का उपयोग भूगोल, कंप्यूटर दृष्टि (जैसे कारों की स्वायत्त ड्राइविंग के लिए), फोटोग्राफी, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, रोबोटिक्स, वीडियो गेम और यहां तक ​​कि फिल्मों में भी किया जाता है। पथरी का उपयोग रसायन विज्ञान में रेडियोधर्मी क्षय की दरों की गणना करने के लिए भी किया जाता है, और यहां तक ​​कि जन्म और मृत्यु दर की भविष्यवाणी करने के लिए भी, साथ ही गुरुत्वाकर्षण और ग्रहों की गति, द्रव प्रवाह, जहाज डिजाइन, ज्यामितीय घटता, और पुल इंजीनियरिंग के अध्ययन में।

भौतिकी में, उदाहरण के लिए, पथरी का उपयोग गति, बिजली, गर्मी, प्रकाश, हार्मोनिक्स, ध्वनिकी, खगोल विज्ञान और गतिशीलता को परिभाषित करने, समझाने और गणना करने में मदद करने के लिए किया जाता है। आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत कैलकुलस पर निर्भर करता है, गणित का एक क्षेत्र जो अर्थशास्त्रियों को यह अनुमान लगाने में भी मदद करता है कि कंपनी या उद्योग कितना लाभ कमा सकते हैं। और में जहाज निर्माण, जहाज के पतवार के दोनों वक्र को निर्धारित करने के लिए कई वर्षों के लिए कलन का उपयोग किया गया है (अंतर का उपयोग करके) पथरी), साथ ही पतवार के नीचे का क्षेत्र (अभिन्न कलन का उपयोग करके), और यहां तक ​​कि सामान्य डिजाइन में भी जहाजों।

इसके अलावा, पथरी का उपयोग विभिन्न गणितीय विषयों जैसे कि सांख्यिकी, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणित के लिए उत्तर की जांच के लिए किया जाता है।

अर्थशास्त्री कैलकुलस का उपयोग आपूर्ति, मांग और अधिकतम संभावित लाभ की भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं। आपूर्ति और मांग, आखिरकार, अनिवार्य रूप से एक वक्र पर चार्ट किया गया है और उस पर एक कभी-कभी बदल रहा है।

अर्थशास्त्री गणना के लिए पथरी का उपयोग करते हैं माँग लोच की कीमत. वे हमेशा बदलती आपूर्ति और मांग वक्र को "लोचदार," और वक्र की क्रियाओं को "लोच" के रूप में संदर्भित करते हैं। किसी विशेष पर लोच की सटीक माप की गणना करने के लिए एक आपूर्ति या मांग वक्र पर इंगित करें, आपको मूल्य में असीम रूप से छोटे परिवर्तनों के बारे में सोचने की जरूरत है और परिणामस्वरूप, गणितीय लोच को अपनी लोच में शामिल करें सूत्रों। कैलकुलस आपको उस बदलते आपूर्ति और मांग वक्र पर विशिष्ट बिंदुओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

"पथरी सारांश।" मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, 10 जनवरी, 2000, कैम्ब्रिज, एमए।