स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम

यह जानना महत्वपूर्ण है कि किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें। प्रायिकता में कुछ प्रकार की घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है। जब हमारे पास स्वतंत्र घटनाओं की एक जोड़ी होती है, तो कभी-कभी हम पूछ सकते हैं, "क्या संभावना है कि ये दोनों घटनाएं घटती हैं?" इस स्थिति में, हम अपनी दोनों संभावनाओं को एक साथ गुणा कर सकते हैं।

हम देखेंगे कि स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम का उपयोग कैसे करें। मूल बातें खत्म हो जाने के बाद, हम कुछ गणनाओं का विवरण देखेंगे।

हम स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा से शुरू करते हैं। में संभावना, दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक घटना का परिणाम दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

स्वतंत्र घटनाओं की एक जोड़ी का एक अच्छा उदाहरण है, जब हम एक मरने को रोल करते हैं और फिर एक सिक्का फ्लिप करते हैं। मरने पर दिखाने वाले नंबर का उस सिक्के पर कोई असर नहीं होता है, जो उछाला गया था। इसलिए ये दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

उन घटनाओं की एक जोड़ी का एक उदाहरण जो स्वतंत्र नहीं हैं, जो जुड़वा बच्चों के समूह में प्रत्येक बच्चे का लिंग होगा। यदि जुड़वा बच्चे समान हैं, तो दोनों पुरुष होंगे, या दोनों महिला होंगे।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम दो घटनाओं की संभावनाओं से संबंधित संभावना से संबंधित है जो वे दोनों होते हैं। नियम का उपयोग करने के लिए, हमें स्वतंत्र घटनाओं में से प्रत्येक की संभावनाओं की आवश्यकता है। इन घटनाओं को देखते हुए, गुणा नियम इस संभावना को बताता है कि दोनों घटनाएं घटित होती हैं, प्रत्येक घटना की संभावनाओं को गुणा करके पाया जाता है।

घटनाओं को नकारें ए तथा बी और प्रत्येक की संभावनाओं पी (ए) तथा पी (बी). अगर ए तथा बी स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो:

इस सूत्र के कुछ संस्करण और भी अधिक प्रतीकों का उपयोग करते हैं। शब्द के बजाय "और" हम इसके बजाय चौराहे के प्रतीक का उपयोग कर सकते हैं: and। कभी-कभी इस सूत्र का उपयोग स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा के रूप में किया जाता है। घटनाएँ स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि पी (ए तथा बी) = पी (ए) एक्स पी (बी).

हम कुछ उदाहरणों को देखकर गुणा नियम का उपयोग करने का तरीका देखेंगे। पहले मान लें कि हम एक छह तरफा मरते हैं और फिर एक सिक्का फ्लिप करते हैं। ये दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं। 1 रोल करने की संभावना 1/6 है। एक सिर की संभावना 1/2 है। रोल करने की संभावना 1 तथा एक सिर मिलना 1/6 x 1/2 = 1/12 है।

यदि हम इस परिणाम के बारे में संदेह करने के लिए इच्छुक थे, तो यह उदाहरण काफी छोटा है कि सभी परिणाम सूचीबद्ध किया जा सकता है: {(1, एच), (2, एच), (3, एच), (4, एच), (5, एच), (6, एच), (1, टी), (2) टी), (3, टी), (4, टी), (5, टी), (6, टी)}। हम देखते हैं कि बारह परिणाम हैं, जिनमें से सभी समान रूप से होने की संभावना है। इसलिए 1 और एक सिर की संभावना 1/12 है। गुणन नियम बहुत अधिक कुशल था क्योंकि इससे हमें अपने संपूर्ण नमूना स्थान को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं थी।

दूसरे उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम कार्ड को एक से खींचते हैं मानक डेक, इस कार्ड को बदलें, डेक को फेरबदल करें और फिर से ड्रा करें। फिर हम पूछते हैं कि क्या संभावना है कि दोनों कार्ड राजा हैं। जब से हमने ड्रा किया है प्रतिस्थापन के साथ, ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं और गुणा नियम लागू होता है।

पहले कार्ड के लिए राजा को आकर्षित करने की संभावना 1/13 है। दूसरे ड्रॉ पर एक राजा को आकर्षित करने की संभावना 1/13 है। इसका कारण यह है कि हम उस राजा को प्रतिस्थापित कर रहे हैं जिसे हमने पहली बार से आकर्षित किया था। चूंकि ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए हम यह देखने के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हैं कि दो राजाओं को चित्रित करने की संभावना निम्नलिखित उत्पाद 1/13 x 1/13 = 1/169 द्वारा दी गई है।

यदि हमने राजा को प्रतिस्थापित नहीं किया, तो हमारे पास एक अलग स्थिति होगी जिसमें घटनाएं स्वतंत्र नहीं होंगी। दूसरे कार्ड पर एक राजा को आकर्षित करने की संभावना पहले कार्ड के परिणाम से प्रभावित होगी।