द्विपद वितरण असतत का एक महत्वपूर्ण वर्ग है संभाव्यता वितरण. इस प्रकार के वितरण की एक श्रृंखला है n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक निरंतर संभावना है पी सफलता की। किसी भी संभाव्यता वितरण के साथ हम यह जानना चाहेंगे कि इसका अर्थ या केंद्र क्या है। इसके लिए हम वास्तव में पूछ रहे हैं, “क्या है अपेक्षित मूल्य द्विपद वितरण का? "
अंतर्ज्ञान बनाम सबूत
अगर हम ध्यान से एक के बारे में सोचते हैं द्विपद वितरण, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि अपेक्षित है इस प्रकार की संभाव्यता वितरण का मूल्य है एन पी। इसके कुछ त्वरित उदाहरणों के लिए, निम्नलिखित पर विचार करें:
- यदि हम 100 सिक्के उछालते हैं, और एक्स प्रमुखों की संख्या, अपेक्षित मान है एक्स 50 = (1/2) 100 है।
- यदि हम 20 प्रश्नों के साथ बहुविकल्पीय परीक्षा ले रहे हैं और प्रत्येक प्रश्न के चार विकल्प हैं (केवल एक ही जो सही है), तो बेतरतीब ढंग से अनुमान लगाने का मतलब होगा कि हम केवल (1/4) 20 = 5 प्रश्न प्राप्त करने की उम्मीद करेंगे सही बात।
इन दोनों उदाहरणों में हम देखते हैं कि ई [एक्स] = एन पी. किसी निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए दो मामले काफी मुश्किल हैं। हालांकि अंतर्ज्ञान हमें मार्गदर्शन करने के लिए एक अच्छा उपकरण है, लेकिन गणितीय तर्क बनाने और यह साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि कुछ सच है। हम कैसे निश्चित रूप से साबित करते हैं कि इस वितरण का अपेक्षित मूल्य वास्तव में है
एनपी?अपेक्षित मान की परिभाषा और संभावना जन कार्य के लिए द्विपद वितरण का n सफलता की संभावना का परीक्षण पी, हम यह प्रदर्शित कर सकते हैं कि हमारा अंतर्ज्ञान गणितीय कठोरता के फल से मेल खाता है। हमें अपने काम में कुछ सावधानी बरतने की जरूरत है और हमारे द्विपदीय गुणांक के जोड़तोड़ में फुर्तीला होना चाहिए जो संयोजन के सूत्र द्वारा दिया गया है।
हम सूत्र का उपयोग करके शुरू करते हैं:
ई [एक्स] = Σ x = 0n एक्स सी (एन, एक्स) पीएक्स(1-पी)एन - एक्स.
चूंकि समन के प्रत्येक शब्द से गुणा किया जाता है एक्सके अनुरूप शब्द का मूल्य x = 0 0 होगा, और इसलिए हम वास्तव में लिख सकते हैं:
ई [एक्स] = Σ x = 1n एक्स सी (एन, एक्स) पी एक्स (1 - पी) एन - एक्स .
के लिए अभिव्यक्ति में शामिल factorials में हेरफेर करके सी (एन, एक्स) हम फिर से लिख सकते हैं
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1)।
यह सच है क्योंकि:
x C (n, x) = xn! / (x (n - x)! = = n! / ((x - 1)! ((n - x)!) = n (n - 1)! (!) x - 1)! (- (n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1)।
यह इस प्रकार है कि:
ई [एक्स] = Σ x = 1n एन सी (एन - 1, एक्स - 1) पी एक्स (1 - पी) एन - एक्स .
हम बाहर कारक n और एक पी उपरोक्त अभिव्यक्ति से:
ई [एक्स] = एनपी n x = 1n सी (एन - 1, एक्स - 1) पी x - 1 (1 - पी) (n - 1) - (x - 1) .
चरों का परिवर्तन आर = एक्स - 1 हमें देता है:
ई [एक्स] = एनपी n आर = 0एन - 1 सी (एन - 1, आर) पी आर (1 - पी) (एन - 1) - आर .
द्विपद सूत्र द्वारा, (x + y)क = Σ आर = 0 कसी (के, आर) एक्सआर yके - आर उपरोक्त सारांश को फिर से लिखा जा सकता है:
ई [एक्स] = (एनपी) (पी + (१ - पी))एन - 1 = एन.पी.
उपरोक्त तर्क ने हमें लंबा रास्ता तय किया है। एक द्विपद वितरण के लिए केवल अपेक्षित मूल्य और संभाव्यता द्रव्यमान समारोह की परिभाषा के साथ शुरुआत से, हमने साबित कर दिया है कि हमारे अंतर्ज्ञान ने हमें क्या बताया। का अपेक्षित मूल्य द्विपद वितरणबी (एन, पी) है एन पी.