ज्यामिति के नियमों और सूत्रों का गहराई से अवलोकन

शब्द ज्यामिति के लिए ग्रीक है GEOS (अर्थ अर्थ) और Metron (अर्थ उपाय)। प्राचीन समाजों में ज्यामिति अत्यंत महत्वपूर्ण थी, और इसका उपयोग सर्वेक्षण, खगोल विज्ञान, नेविगेशन और भवन निर्माण के लिए किया जाता था। ज्यामिति जैसा कि हम जानते हैं कि यह वास्तव में यूक्लिडियन ज्यामिति है, जो 2,000 साल पहले प्राचीन ग्रीस में यूक्लिड, पाइथागोरस, थेल्स, प्लेटो और अरस्तू द्वारा अच्छी तरह से लिखा गया था - बस कुछ का उल्लेख करने के लिए। सबसे आकर्षक और सटीक ज्यामिति पाठ यूक्लिड द्वारा लिखा गया था, जिसे "तत्व" कहा जाता है। यूक्लिड के पाठ का उपयोग 2,000 वर्षों से किया जा रहा है।

ज्यामिति कोणों और त्रिभुजों का अध्ययन है, परिधि, क्षेत्र, और आयतन। यह बीजगणित से भिन्न होता है, जिसमें एक तार्किक संरचना विकसित होती है जहां गणितीय संबंध साबित होते हैं और लागू होते हैं। ज्यामिति से जुड़े मूल शब्दों को सीखकर शुरू करें।

अंक स्थिति दिखाते हैं। एक बिंदु को एक बड़े अक्षर से दिखाया जाता है। इस उदाहरण में, ए, बी और सी सभी बिंदु हैं। ध्यान दें कि बिंदु रेखा पर हैं।

ए लाइन अनंत और सीधा है। यदि आप ऊपर दिए गए चित्र को देखते हैं, तो AB एक रेखा है, AC एक रेखा भी है और BC एक रेखा है। एक पंक्ति की पहचान तब की जाती है जब आप लाइन पर दो बिंदुओं का नाम देते हैं और अक्षरों पर एक रेखा खींचते हैं। एक पंक्ति निरंतर बिंदुओं का एक समूह है जो अपनी दिशा में अनिश्चित काल तक विस्तारित होती है। लाइनों को लोअरकेस अक्षर या सिंगल लोअर केस लेटर के साथ भी नाम दिया गया है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई लाइनों में से एक को केवल संकेत देकर नाम दिया जा सकता है

एक रेखा खंड एक सीधी रेखा खंड है जो दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा का हिस्सा है। एक पंक्ति खंड की पहचान करने के लिए, कोई एबी लिख सकता है। लाइन सेगमेंट के प्रत्येक पक्ष के बिंदु को समापन बिंदु के रूप में संदर्भित किया जाता है।

छवि में, ए एंडपॉइंट है और इस किरण का अर्थ है कि ए से शुरू होने वाले सभी बिंदु किरण में शामिल हैं।

शीर्ष (इस मामले में बी) को हमेशा मध्य अक्षर के रूप में लिखा जाता है। यह मायने नहीं रखता कि आप अपने वर्टेक्स के अक्षर या संख्या को कहां रखते हैं। इसे अपने कोण के अंदर या बाहर रखने के लिए स्वीकार्य है।

जब आप अपनी पाठ्यपुस्तक का जिक्र कर रहे हों और होमवर्क पूरा कर रहे हों, तो सुनिश्चित करें कि आप सुसंगत हैं। यदि आप अपने होमवर्क उपयोग में कोणों का उल्लेख करते हैं संख्या, अपने उत्तरों में संख्याओं का उपयोग करें। जो भी नामकरण सम्मेलन आपके पाठ का उपयोग करता है वही आपको उपयोग करना चाहिए।

एक विमान को अक्सर एक ब्लैकबोर्ड, बुलेटिन बोर्ड, एक बॉक्स के किनारे या एक मेज के शीर्ष द्वारा दर्शाया जाता है। इन विमान सतहों का उपयोग किसी भी दो या दो से अधिक बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ने के लिए किया जाता है। एक समतल समतल सतह होती है।

एक ऑब्सट्यूज़ कोण 90 डिग्री से अधिक मापता है, लेकिन 180 डिग्री से कम, और छवि में उदाहरण जैसा कुछ दिखाई देगा।

एक पलटा कोण 180 डिग्री से अधिक है, लेकिन 360 डिग्री से कम है, और ऊपर की छवि जैसा कुछ दिखाई देगा।

यदि आप कोण एबीडी के कोण को जानते हैं, तो आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोण एबीसी को 180 डिग्री से घटाकर कोण डीबीसी उपाय क्या है।

अलेक्जेंड्रिया का यूक्लिड 300 ईसा पूर्व के आसपास "द एलीमेंट्स" नामक 13 पुस्तकें लिखीं। इन पुस्तकों ने ज्यामिति की नींव रखी। नीचे दिए गए कुछ पदों को वास्तव में यूक्लिड ने अपनी 13 पुस्तकों में लिखा था। उन्हें स्वयंसिद्ध माना गया लेकिन बिना प्रमाण के। यूक्लिड की मुद्राएं समय की अवधि में थोड़ी सही हो गई हैं। कुछ यहां सूचीबद्ध हैं और यूक्लिडियन ज्यामिति का हिस्सा बने हुए हैं। जानिए इस सामान को। इसे सीखें, इसे याद रखें और यदि आप ज्यामिति को समझने की अपेक्षा करते हैं तो इस पृष्ठ को एक उपयोगी संदर्भ के रूप में रखें।

कुछ बुनियादी तथ्य, जानकारी और पोस्टुलेट हैं जो ज्यामिति में जानना बहुत महत्वपूर्ण हैं। ज्यामिति में सब कुछ सिद्ध नहीं होता है, इस प्रकार हम कुछ का उपयोग करते हैं तत्वों, जो मूल धारणाएँ या अप्रमाणित सामान्य कथन हैं जिन्हें हम स्वीकार करते हैं। निम्नलिखित कुछ मूल बातें हैं और पोस्ट-स्तर की ज्यामिति के लिए बनाई गई हैं। जो यहां बताए गए हैं, उनकी तुलना में कई और अधिक पोस्टअॉउट हैं। निम्नलिखित रेखांकन शुरुआती ज्यामिति के लिए अभिप्रेत हैं।

दो लाइनें केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। दिखाए गए चित्र में, एस एबी और सीडी का एकमात्र चौराहा है।

एक कोण का आकार कोण के दोनों किनारों के बीच उद्घाटन पर निर्भर करेगा और इसे उन इकाइयों में मापा जाता है जिन्हें इस रूप में संदर्भित किया जाता है डिग्री, जो ° प्रतीक द्वारा दर्शाए गए हैं। कोणों के अनुमानित आकार को याद करने के लिए, याद रखें कि एक बार लगभग 360 डिग्री का एक चक्र। कोणों के सन्निकटन को याद रखने के लिए, उपरोक्त छवि को याद रखने में मदद मिलेगी।

360 डिग्री के रूप में एक पूरे पाई के बारे में सोचो। यदि आप पाई का एक चौथाई (एक-चौथाई) खाते हैं, तो माप 90 डिग्री होगा। यदि आप पाई का आधा हिस्सा खा गए तो क्या होगा? जैसा कि ऊपर कहा गया है, 180 डिग्री आधा है, या आप 90 डिग्री और 90 डिग्री जोड़ सकते हैं - आपके द्वारा खाए गए दो टुकड़े।

यदि आप पूरी पाई को आठ बराबर टुकड़ों में काटते हैं, तो पाई का एक कोण किस कोण पर बनेगा? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, विभाजन आठ से 360 डिग्री (टुकड़ों की संख्या से विभाजित कुल). यह आपको बताएगा कि पाई के प्रत्येक टुकड़े का माप 45 डिग्री है।

आमतौर पर, एक कोण को मापते समय, आप एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करेंगे। एक प्रोट्रैक्टर पर माप की प्रत्येक इकाई एक डिग्री है।

दिखाए गए कोण लगभग 10 डिग्री, 50 डिग्री और 150 डिग्री हैं।

समसामयिक कोण ऐसे कोण होते हैं जिनकी संख्या समान होती है। उदाहरण के लिए, दो लाइन सेगमेंट कंफर्टेबल होते हैं यदि वे लंबाई में समान हों। यदि दो कोणों का एक ही माप है, तो उन्हें भी, अभिनंदन माना जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, इसे ऊपर की छवि में दिखाया गया है। खंड एबी ओपी के खंड के अनुरूप है।

बिज़ेक्टर लाइन, रे या लाइन सेगमेंट को संदर्भित करता है, जो से होकर गुजरता है मध्य. ऊपर दिखाए गए अनुसार द्विभाजक एक खंड को दो अभिसारी खंडों में विभाजित करता है।

एक ट्रांसवर्सल एक ऐसी रेखा है जो दो समानांतर रेखाओं को पार करती है। ऊपर की आकृति में, ए और बी समानांतर रेखाएं हैं। निम्नलिखित पर ध्यान दें जब एक ट्रांसवर्सल दो समानांतर रेखाओं को काटता है:

के उपायों का योग त्रिभुज हमेशा 180 डिग्री के बराबर होती है। आप तीन कोणों को मापने के लिए अपने प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके इसे साबित कर सकते हैं, फिर तीन कोणों को कुल कर सकते हैं। देखें कि त्रिभुज 90 डिग्री + 45 डिग्री + 45 डिग्री = 180 डिग्री है।

बाहरी कोण का माप हमेशा दो दूरस्थ आंतरिक कोणों के माप के योग के बराबर होगा। आकृति में दूरस्थ कोण कोण B और कोण C हैं। इसलिए, कोण RAB का माप कोण B और कोण C के योग के बराबर होगा। यदि आप कोण बी और कोण सी के उपायों को जानते हैं, तो आप स्वचालित रूप से जानते हैं कि कोण आरएबी क्या है।

यदि एक ट्रान्सवर्सल दो रेखाओं को इस तरह प्रतिच्छेद करता है कि संबंधित कोण सम्‍मिलित होते हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। इसके अलावा, यदि दो रेखाएं एक ट्रांसवर्सल द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं जैसे कि ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ आंतरिक कोण पूरक हैं, तो लाइनें समानांतर हैं।