घातीय क्षय क्रियाओं के साथ समीकरणों को कैसे हल करें

घातीय कार्य विस्फोटक बदलाव की कहानियां बताएं। दो प्रकार के घातीय कार्य घातीय वृद्धि और घातांक क्षय हैं। चार चर (प्रतिशत परिवर्तन, समय, समय अवधि की शुरुआत में राशि, और समय अवधि के अंत में राशि) घातीय कार्यों में भूमिका निभाते हैं। समय अवधि की शुरुआत में राशि खोजने के लिए एक घातीय क्षय फ़ंक्शन का उपयोग करें।

घातीय क्षय वह परिवर्तन है जो तब होता है जब एक मूल राशि समय की अवधि में एक सुसंगत दर से कम हो जाती है।

यहाँ एक घातीय क्षय समारोह है:

y = ए(1बी)^एक्स

• y: समय की अवधि में क्षय के बाद शेष बची हुई राशि
• ए: मूल राशि
• एक्स: समय
• क्षय कारक है (1)ख)
• चर ख दशमलव रूप में कमी का प्रतिशत है।

यदि आप इस लेख को पढ़ रहे हैं, तो आप शायद महत्वाकांक्षी हैं। अब से छह साल बाद, शायद आप ए का पीछा करना चाहते हैं स्नातक की डिग्री ड्रीम यूनिवर्सिटी में। $ 120,000 मूल्य टैग के साथ, ड्रीम यूनिवर्सिटी वित्तीय रात क्षेत्र को विकसित करती है। रातों की नींद हराम करने के बाद, आप, माँ और पिताजी एक वित्तीय योजनाकार के साथ मिलते हैं। आपके माता-पिता की खून की आंखें साफ हो जाती हैं जब योजनाकार को पता चलता है कि आठ प्रतिशत की विकास दर के साथ एक निवेश आपके परिवार को $ 120,000 के लक्ष्य तक पहुंचने में मदद कर सकता है। मेहनत से पढ़ाई। यदि आप और आपके माता-पिता आज $ 75,620.36 का निवेश करते हैं, तो ड्रीम विश्वविद्यालय घातीय क्षय के लिए आपकी वास्तविकता बन जाएगा।

यह फ़ंक्शन निवेश की घातीय वृद्धि का वर्णन करता है:

120,000 = ए(1 +.08)⁶

• 120,000: अंतिम राशि 6 ​​साल बाद शेष
• .08: वार्षिक वृद्धि दर
• 6: निवेश बढ़ने के लिए वर्षों की संख्या
• ए: वह प्रारंभिक राशि जो आपके परिवार ने निवेश की है

समानता की सममित संपत्ति के लिए धन्यवाद, 120,000 = ए(1 +.08)⁶ के समान है ए(1 +.08)⁶ = 120,000. समानता की सममितीय संपत्ति बताती है कि यदि 10 + 5 = 15, तो 15 = 10 + 5।

यदि आप समीकरण के दाईं ओर स्थिर (120,000) के साथ समीकरण को फिर से लिखना पसंद करते हैं, तो ऐसा करें।

ए(1 +.08)⁶ = 120,000

दी, समीकरण ऐसा नहीं लगता है रेखीय समीकरण (6ए = $ 120,000), लेकिन यह सॉल्व है। इसके साथ बने रहें!

ए(1 +.08)⁶ = 120,000

120,000 को 6 से विभाजित करके इस घातीय समीकरण को हल न करें। यह एक आकर्षक गणित नहीं-नहीं है।

1. संचालन के क्रम को सरल बनाने के लिए उपयोग करें

ए(1 +.08)⁶ = 120,000
ए(1.08)⁶ = 120,000 (कोष्ठक)
ए(1.586874323) = 120,000 (प्रतिपादक)

2. द्वारा हल करें भाग देनेवाला

ए(1.586874323) = 120,000
ए(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1ए = 75,620.35523
ए = 75,620.35523

निवेश करने की मूल राशि लगभग $ 75,620.36 है।

3. फ्रीज: आप अभी तक नहीं कर रहे हैं; अपने उत्तर की जांच के लिए ऑपरेशन के आदेश का उपयोग करें

120,000 = ए(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (कोष्ठक)
120,000 = 75,620.35523 (1.586874323) (प्रतिपादक)
120,000 = 120,000 (गुणन)

वुडफोर्स्ट, टेक्सास, ह्यूस्टन के एक उपनगर, अपने समुदाय में डिजिटल विभाजन को बंद करने के लिए निर्धारित है। कुछ साल पहले, सामुदायिक नेताओं ने पाया कि उनके नागरिक कंप्यूटर अनपढ़ थे। उनके पास पहुंच नहीं थी इंटरनेट और सूचना सुपरहाइवे से बाहर थे। नेताओं ने वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स, मोबाइल कंप्यूटर स्टेशनों का एक सेट स्थापित किया।

वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स ने वुडफोर्स्ट में केवल 100 कंप्यूटर अनपढ़ नागरिकों के अपने लक्ष्य को प्राप्त किया है। कम्युनिटी लीडर्स ने वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स की मासिक प्रगति का अध्ययन किया। डेटा के अनुसार, कंप्यूटर अनपढ़ नागरिकों की गिरावट को निम्न फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

100 = ए(1 - .12)¹⁰

1. वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स की स्थापना के 10 महीने बाद कितने लोग अनपढ़ हैं?

• 100 लोग

इस फ़ंक्शन को मूल घातीय वृद्धि फ़ंक्शन से तुलना करें:

100 = ए(1 - .12)¹⁰
y = ए(1 + बी)^एक्स

परिवर्तनशीलy 10 महीने के अंत में कंप्यूटर अनपढ़ लोगों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए समुदाय में वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स शुरू होने के बाद 100 लोग अभी भी कंप्यूटर अनपढ़ हैं।

2. क्या यह फ़ंक्शन घातीय क्षय या घातीय वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है?

• यह फ़ंक्शन घातांक क्षय का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि एक नकारात्मक संकेत प्रतिशत परिवर्तन (.12) के सामने बैठता है।

3. परिवर्तन की मासिक दर क्या है?

• 12 प्रतिशत

4. वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स की शुरुआत के समय 10 महीने पहले कितने लोग कंप्यूटर अनपढ़ थे?

• 359 लोग

उपयोगकार्रवाई के आदेश सरल करने के लिए।

100 = ए(1 - .12)¹⁰

100 = ए(.88)¹⁰ (कोष्ठक)

100 = ए(.278500976) (प्रतिपादक)

हल करने के लिए विभाजित करें।

100(.278500976) = ए(.278500976) / (.278500976)

359.0651689 = 1ए

359.0651689 = ए

अपने उत्तर की जांच के लिए ऑपरेशन के क्रम का उपयोग करें।

100 = 359.0651689(1 - .12)¹⁰

100 = 359.0651689(.88)¹⁰ (कोष्ठक)

100 = 359.0651689 (.278500976) (प्रतिपादक)

100 = 100 (गुणा)

5. अगर ये ट्रेंड जारी रहता है, तो वर्ल्ड वाइड वेब ऑन व्हील्स की शुरुआत के 15 महीने बाद कितने लोग अनपढ़ होंगे?

• 52 लोग

फ़ंक्शन के बारे में आपको जो पता है उसे इसमें जोड़ें।

y = 359.0651689(1 - .12) ^एक्स

y = 359.0651689(1 - .12) ¹⁵

खोजने के लिए संचालन के आदेश का उपयोग करें y.

y = 359.0651689(.88)¹⁵ (कोष्ठक)

y = 359.0651689 (.146973854) (प्रतिपादक)

y = 52.77319167 (गुणा करें)।