सांख्यिकी में क्षण क्या हैं?

गणितीय आँकड़ों में क्षणों में एक बुनियादी गणना शामिल होती है। इन गणनाओं का उपयोग संभाव्यता वितरण के माध्य, विचरण और तिरछापन को खोजने के लिए किया जा सकता है।

मान लीजिए कि हमारे पास कुल के साथ डेटा का एक सेट है nअलग अंक। एक महत्वपूर्ण गणना, जो वास्तव में कई संख्याएँ हैं, को कहा जाता है रोंवें पल। रोंमानों के साथ सेट किया गया डेटा का क्षण एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃,..., एक्स_n सूत्र द्वारा दिया गया है:

(एक्स₁^रों + एक्स₂^रों + एक्स₃^रों +... + एक्स_n^रों)/n

इस सूत्र का उपयोग करने के लिए हमें अपने संचालन के आदेश से सावधान रहना होगा। हमें पहले घातांक करने की जरूरत है, जोड़ना है, फिर इस योग को विभाजित करना है n डेटा मानों की कुल संख्या।

अवधि पल भौतिकी से लिया गया है। भौतिकी में, बिंदु द्रव्यमान की एक प्रणाली के क्षण की गणना उस सूत्र के समान होती है, और इस सूत्र का उपयोग बिंदुओं के द्रव्यमान के केंद्र को खोजने में किया जाता है। आंकड़ों में, मान अब बड़े पैमाने पर नहीं हैं, लेकिन जैसा कि हम देखेंगे, आंकड़ों में क्षण अभी भी मूल्यों के केंद्र के सापेक्ष कुछ मापते हैं।

पहले क्षण के लिए, हम सेट करते हैं रों = 1. पहले क्षण का सूत्र इस प्रकार है:

(एक्स₁एक्स₂ + एक्स₃ +... + एक्स_n)/n

यह नमूने के लिए सूत्र के समान है मतलब.

मानों 1, 3, 6, 10 का पहला क्षण (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5 है।

दूसरे पल के लिए हमने सेट किया रों = 2. दूसरे क्षण का सूत्र है:

(एक्स₁² + एक्स₂² + एक्स₃² +... + एक्स_n²)/n

1, 3, 6, 10 के मूल्यों का दूसरा क्षण (1) है² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

तीसरे पल के लिए हमने सेट किया रों = 3. तीसरे क्षण का सूत्र है:

(एक्स₁³ + एक्स₂³ + एक्स₃³ +... + एक्स_n³)/n

1, 3, 6, 10 के मूल्यों का तीसरा क्षण (1) है³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

उच्च क्षणों की गणना एक समान तरीके से की जा सकती है। बस प्रतिस्थापित करें रों वांछित क्षण को दर्शाते हुए संख्या के साथ उपरोक्त सूत्र में।

एक संबंधित विचार यह है कि रोंमतलब के बारे में पल। इस गणना में हम निम्नलिखित चरण करते हैं:

1. सबसे पहले, मूल्यों के माध्य की गणना करें।
2. इसके बाद, इस मूल्य को प्रत्येक मान से घटाएं।
3. फिर इनमें से प्रत्येक अंतर को बढ़ाएं रोंवें शक्ति
4. अब चरण # 3 से संख्याओं को एक साथ जोड़ें।
5. अंत में, इस योग को हमारे द्वारा शुरू किए गए मानों की संख्या से विभाजित करें।

के लिए सूत्र रोंमतलब के बारे में पल म मूल्यों की एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃,..., एक्स_n द्वारा दिया गया है:

म_रों = ((एक्स₁ - म)^रों + (एक्स₂ - म)^रों + (एक्स₃ - म)^रों +... + (एक्स_n - म)^रों)/n

माध्य के बारे में पहला क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि डेटा सेट क्या है जिसके साथ हम काम कर रहे हैं। इसे निम्नलिखित में देखा जा सकता है:

म₁ = ((एक्स₁ - म) + (एक्स₂ - म) + (एक्स₃ - म) +... + (एक्स_n - म))/n = ((एक्स₁+ एक्स₂ + एक्स₃ +... + एक्स_n) - एनएम)/n = म - म = 0.

माध्य के बारे में दूसरा क्षण उपर्युक्त सूत्र से सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता हैरों = 2:

म₂ = ((एक्स₁ - म)² + (एक्स₂ - म)² + (एक्स₃ - म)² +... + (एक्स_n - म)²)/n

यह फॉर्मूला सैंपल वेरिएशन के बराबर है।

उदाहरण के लिए, सेट 1, 3, 6, 10 पर विचार करें। हम पहले ही इस सेट का मतलब 5 मान चुके हैं। अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक डेटा मान से इसे घटाएँ:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

हम इनमें से प्रत्येक मान को वर्गाकार करते हैं और उन्हें एक साथ जोड़ते हैं: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. अंत में इस संख्या को डेटा बिंदुओं की संख्या से विभाजित करें: 46/4 = 11.5

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पहला क्षण माध्य है और माध्य के बारे में दूसरा क्षण नमूना है झगड़ा. कार्ल पियर्सन ने गणना में माध्य के बारे में तीसरे क्षण के उपयोग की शुरुआत की तिरछापन और गणना में माध्य के बारे में चौथा क्षण कुकुदता.