सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास क्या है?

आप सेंट पीटर्सबर्ग, रूस की सड़कों पर हैं, और एक बूढ़ा व्यक्ति निम्नलिखित खेल का प्रस्ताव करता है। वह एक सिक्का फ़्लिप करता है (और अगर आप भरोसा नहीं करते हैं कि वह एक न्यायपूर्ण है) तो आपका एक उधार लेगा। यदि यह भूमि झुक जाती है तो आप हार जाते हैं और खेल खत्म हो जाता है। यदि सिक्का ऊपर जाता है तो आप एक रूबल जीतते हैं और खेल जारी रहता है। सिक्का फिर उछाला जाता है। यदि यह पूंछ है, तो खेल समाप्त हो जाता है। यदि यह सिर है, तो आप एक अतिरिक्त दो रूबल जीतते हैं। खेल इस तरह से जारी है। प्रत्येक क्रमिक सिर के लिए हम पिछले दौर से अपनी जीत को दोगुना करते हैं, लेकिन पहले पूंछ के संकेत पर, खेल किया जाता है।

आप इस खेल को खेलने के लिए कितना भुगतान करेंगे? जब हम विचार करते हैं अपेक्षित मूल्य इस खेल में, आपको मौके पर कूदना चाहिए, चाहे कोई भी कीमत हो। हालाँकि, ऊपर दिए गए विवरण से, आप शायद ज्यादा भुगतान करने को तैयार नहीं होंगे। आखिरकार, कुछ भी नहीं जीतने की 50% संभावना है। यह वही है जिसे सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम 1738 डैनियल बर्नौली के प्रकाशन के कारण रखा गया है सेंट पीटर्सबर्ग के इंपीरियल एकेडमी ऑफ साइंस की टिप्पणी.

चलो गणना करके शुरू करते हैं संभावनाओं इस खेल से जुड़े। संभावना है कि एक निष्पक्ष सिक्का भूमि के ऊपर है 1/2। प्रत्येक सिक्का टॉस एक स्वतंत्र घटना है और इसलिए हम संभवतः एक के उपयोग के साथ संभावनाओं को गुणा करते हैं वृक्षारेख.

• एक पंक्ति में दो सिर की संभावना है (1/2) x (1/2) = 1/4।
• एक पंक्ति में तीन प्रमुखों की संभावना है (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8।
• की संभावना व्यक्त करने के लिए n एक पंक्ति में सिर, जहां n एक सकारात्मक पूरी संख्या है जो हम 1/2 लिखने के लिए घातांक का उपयोग करते हैंⁿ.

अब आगे बढ़ते हैं और देखते हैं कि क्या हम सामान्य कर सकते हैं कि प्रत्येक राउंड में जीत क्या होगी।

• यदि आपके पास पहले दौर में एक सिर है तो आप उस दौर के लिए एक रूबल जीतते हैं।
• यदि दूसरे राउंड में एक सिर होता है तो आप उस राउंड में दो रूबल जीतते हैं।
• यदि तीसरे दौर में एक सिर है, तो आप उस दौर में चार रूबल जीतते हैं।
• यदि आप बहुत भाग्यशाली रहे हैं तो यह सब करने के लिए रास्ता बनाने के लिए n^वें गोल, फिर आप 2 जीतेंगे^n-1 उस दौर में रूबल।

एक गेम का अपेक्षित मूल्य हमें बताता है कि यदि आप कई बार, कई बार गेम खेलते हैं, तो जीत क्या औसत होगी। अपेक्षित मूल्य की गणना करने के लिए, हम प्रत्येक राउंड से जीत के मूल्य को इस राउंड की संभावना से गुणा करते हैं, और फिर इन सभी उत्पादों को एक साथ जोड़ते हैं।

• पहले दौर से, आपके पास संभावना 1/2 है और 1 रूबल की जीत: 1/2 x 1 = 1/2
• दूसरे दौर से, आपके पास संभावना 1/4 है और 2 रूबल की जीत: 1/4 x 2 = 1/2
• पहले दौर से, आपके पास संभावना 1/8 है और 4 रूबल की जीत: 1/8 x 4 = 1/2
• पहले दौर से, आपके पास संभावना 1/16 है और 8 रूबल की जीत: 1/16 x 8 = 1/2
• पहले दौर से, आपके पास संभावना 1/2 हैⁿ और 2 की जीत^n-1 रूबल: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

प्रत्येक राउंड से मान 1/2 है, और पहले से परिणाम जोड़ रहा है n एक साथ राउंड हमें एक अपेक्षित मूल्य देता है n/ 2 रूबल। जबसे n कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है, अपेक्षित मूल्य असीम है।

तो आपको खेलने के लिए क्या भुगतान करना चाहिए? एक रूबल, एक हजार रूबल या एक भी एक अरब रूबल, लंबे समय में, अपेक्षित मूल्य से कम होगा। उपरोक्त गणना के बावजूद, अनकही धन का वादा करते हुए, हम सभी अभी भी खेलने के लिए बहुत अधिक भुगतान करने के लिए अनिच्छुक होंगे।

विरोधाभास को हल करने के कई तरीके हैं। सरल तरीकों में से एक यह है कि कोई भी एक खेल की पेशकश नहीं करेगा जैसे कि ऊपर वर्णित एक। किसी के पास अनंत संसाधन नहीं हैं कि वह किसी ऐसे व्यक्ति को भुगतान करे जो सिर को पलटना जारी रखे।

विरोधाभास को हल करने का एक अन्य तरीका यह इंगित करना शामिल है कि किसी पंक्ति में 20 सिर की तरह कुछ प्राप्त करना कितना असंभव है। अंतर इसमें से अधिकांश राज्य जीतने से बेहतर हैं लॉटरी. लोग नियमित रूप से पांच डॉलर या उससे कम के लिए ऐसी लॉटरी खेलते हैं। तो सेंट पीटर्सबर्ग खेल खेलने की कीमत शायद कुछ डॉलर से अधिक नहीं होनी चाहिए।

अगर आदमी अंदर सेंट पीटर्सबर्ग उनका कहना है कि उनके खेल को खेलने के लिए कुछ रूबल से अधिक की लागत आएगी, आपको विनम्रता से मना करना चाहिए और चलना चाहिए। वैसे भी रूबल की कीमत बहुत अधिक नहीं है।