दो-तरफ़ा तालिका में स्वतंत्रता के लिए डिग्री

की संख्या स्वतंत्रता का दर्जा दो सरल रूपों की स्वतंत्रता के लिए एक सरल सूत्र द्वारा दिया गया है: (आर - 1)(सी - 1). यहाँ आर पंक्तियों की संख्या और है सी स्तंभों की संख्या है दो तरह से टेबल श्रेणीगत चर के मान। इस विषय पर और जानने के लिए पढ़ें कि यह सूत्र सही संख्या क्यों देता है।

कई की प्रक्रिया में एक कदम परिकल्पना परीक्षण स्वतंत्रता की संख्या डिग्री का निर्धारण है। यह संख्या महत्वपूर्ण है क्योंकि संभाव्यता वितरण इसमें वितरण का एक परिवार शामिल है, जैसे ची-वर्ग वितरण, की डिग्री की संख्या स्वतंत्रता परिवार से सटीक वितरण को इंगित करती है जिसे हमें अपनी परिकल्पना में उपयोग करना चाहिए परीक्षा।

स्वतंत्रता की डिग्री किसी भी स्थिति में हम कर सकते हैं कि मुक्त विकल्पों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिकल्पना परीक्षणों में से एक यह है कि हमें स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करने की आवश्यकता है ची-वर्ग दो स्पष्ट चर के लिए स्वतंत्रता के लिए परीक्षण।

स्वतंत्रता के लिए ची-स्क्वायर परीक्षण हमें दो-तरफ़ा तालिका बनाने के लिए कहता है, जिसे एक आकस्मिक तालिका के रूप में भी जाना जाता है। इस प्रकार की तालिका है

स्वतंत्रता के लिए ची-स्क्वायर परीक्षण हमें उस परिकल्पना का परीक्षण करने की अनुमति देता है जो ए स्पष्ट चर एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। जैसा कि हमने ऊपर बताया है, आर पंक्तियाँ और सी तालिका में कॉलम हमें दें (आर - 1)(सी (1) स्वतंत्रता की डिग्री। लेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है कि यह स्वतंत्रता की डिग्री की सही संख्या क्यों है।

यह देखने के लिए कि (क्योंआर - 1)(सी (1) सही संख्या है, हम इस स्थिति की अधिक विस्तार से जांच करेंगे। मान लीजिए कि हम अपने श्रेणीबद्ध चर के प्रत्येक स्तर के लिए मामूली योग जानते हैं। दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक पंक्ति के लिए कुल और प्रत्येक कॉलम के लिए कुल जानते हैं। पहली पंक्ति के लिए, वहाँ हैं सी हमारी तालिका में कॉलम हैं, इसलिए हैं सी कोशिकाओं। एक बार जब हम इन सभी कोशिकाओं में से एक के मूल्यों को जानते हैं, तो क्योंकि हम सभी कोशिकाओं के कुल को जानते हैं, शेष सेल के मूल्य को निर्धारित करने के लिए यह एक सरल बीजगणित समस्या है। यदि हम अपनी तालिका की इन कोशिकाओं को भर रहे थे, तो हम प्रवेश कर सकते थे सी - उनमें से 1 स्वतंत्र रूप से, लेकिन फिर शेष सेल को पंक्ति के कुल द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार हैं सी - पहली पंक्ति के लिए स्वतंत्रता की 1 डिग्री।

हम अगली पंक्ति के लिए इस तरीके से जारी रखते हैं, और फिर से होते हैं सी - स्वतंत्रता की 1 डिग्री। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि हम प्रथागत पंक्ति में नहीं पहुँच जाते। अंतिम पंक्ति को छोड़कर प्रत्येक पंक्तियों का योगदान है सी - कुल स्वतंत्रता की 1 डिग्री। उस समय तक जब हमारे पास सभी लेकिन अंतिम पंक्ति होती है, तब क्योंकि हम जानते हैं कि कॉलम राशि हम अंतिम पंक्ति के सभी प्रविष्टियों को निर्धारित कर सकते हैं। यह हमें देता है आर - 1 पंक्तियों के साथ सी - इनमें से प्रत्येक के लिए प्रत्येक में स्वतंत्रता की डिग्री (आर - 1)(सी (1) स्वतंत्रता की डिग्री।

हम इसे निम्नलिखित उदाहरण से देखते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास दो वैरिएबल वैरिएबल के साथ दो तरह की मेज है। एक चर के तीन स्तर होते हैं और दूसरे के दो होते हैं। इसके अलावा, मान लें कि हम इस तालिका के लिए पंक्ति और स्तंभ योग जानते हैं:

सूत्र यह भविष्यवाणी करता है कि (3-1) (2-1) = 2 डिग्री स्वतंत्रता है। हम इसे इस प्रकार देखते हैं। मान लीजिए कि हम 80 नंबर के साथ ऊपरी बाएं सेल को भरते हैं। यह स्वचालित रूप से प्रविष्टियों की पूरी पहली पंक्ति निर्धारित करेगा:

अब अगर हम जानते हैं कि दूसरी पंक्ति में पहली प्रविष्टि 50 है, तो बाकी तालिका में भर दिया जाता है, क्योंकि हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का कुल पता करते हैं:

तालिका पूरी तरह से भरी हुई है, लेकिन हमारे पास केवल दो मुफ्त विकल्प थे। एक बार जब ये मूल्य ज्ञात हो जाते हैं, तो बाकी तालिका पूरी तरह से निर्धारित हो गई थी।

हालाँकि हमें आम तौर पर यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि स्वतंत्रता की यह कई डिग्री क्यों हैं, यह जानना अच्छा है कि हम वास्तव में स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा को एक नई स्थिति में लागू कर रहे हैं।