द्विपद वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने का कार्य

एक यादृच्छिक चर का माध्य और विचरण एक्स के साथ द्विपद संभाव्यता वितरण सीधे गणना करना मुश्किल हो सकता है। हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि परिभाषा का उपयोग करने में क्या करने की आवश्यकता है अपेक्षित मूल्य का एक्स तथा एक्स²इन चरणों का वास्तविक निष्पादन बीजगणित और योगों की एक कठिन करतब है। एक का मतलब और विचरण निर्धारित करने के लिए एक वैकल्पिक तरीका है द्विपद वितरण का उपयोग करना है पल उत्पन्न समारोह के लिये एक्स.

यादृच्छिक चर के साथ शुरू करो एक्स और वर्णन करें संभावना वितरण अधिक विशेष रूप से। प्रदर्शन n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में सफलता की संभावना है पी और विफलता की संभावना 1 - पी. इस प्रकार प्रायिकता द्रव्यमान क्रिया है

च (एक्स) = सी(n, एक्स)पी^एक्स(1 – पी)^{n - एक्स}

यहाँ पद सी(n, एक्स) के संयोजन की संख्या को दर्शाता है n तत्वों को लिया एक्स एक समय पर, और एक्स मान 0, 1, 2, 3, ले सकते हैं।.., n.

के इस पल उत्पन्न समारोह को प्राप्त करने के लिए इस संभावना जन समारोह का उपयोग करें एक्स:

म(टी) = Σ_{एक्स = 0}ⁿइ^txसी(n,एक्स)>)पी^एक्स(1 – पी)^{n - एक्स}.

यह स्पष्ट हो जाता है कि आप शर्तों को घातांक के साथ जोड़ सकते हैं एक्स:

म(टी) = Σ_{एक्स = 0}ⁿ (पी.ई^टी)^एक्ससी(n,एक्स)>)(1 – पी)^{n - एक्स}.

इसके अलावा, द्विपद सूत्र के उपयोग से, उपरोक्त अभिव्यक्ति बस है:

म(टी) = [(1 – पी) + पी.ई^टी]ⁿ.

खोजने के क्रम में मतलब और विचरण, आपको दोनों को जानना होगा म'(0) और म’’(0). अपने डेरिवेटिव की गणना करके शुरू करें, और फिर उनमें से प्रत्येक का मूल्यांकन करें टी = 0.

आप देखेंगे कि पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:

म’(टी) = n(पी.ई^टी)[(1 – पी) + पी.ई^टी]^{n - 1}.

इस से, आप संभाव्यता वितरण के माध्य की गणना कर सकते हैं। म(0) = n(पी.ई⁰)[(1 – पी) + पी.ई⁰]^{n - 1} = एनपी. यह उस अभिव्यक्ति से मेल खाता है जिसे हमने सीधे मतलब की परिभाषा से प्राप्त किया था।

विचरण की गणना एक समान तरीके से की जाती है। सबसे पहले, पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को फिर से अलग करें, और फिर हम इस व्युत्पन्न का मूल्यांकन करते हैं टी = 0. यहाँ आप देखेंगे कि

म’’(टी) = n(n - 1)(पी.ई^टी)²[(1 – पी) + पी.ई^टी]^{n - 2} + n(पी.ई^टी)[(1 – पी) + पी.ई^टी]^{n - 1}.

इस यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करने के लिए आपको खोजना होगा म’’(टी). ये लो म’’(0) = n(n - 1)पी² +एनपी. विचरण σ² आपका वितरण है

σ² = म’’(0) – [म’(0)]² = n(n - 1)पी² +एनपी - (एनपी)² = एनपी(1 - पी).

यद्यपि यह विधि कुछ हद तक शामिल है, यह माध्य और विचरण की गणना के रूप में जटिल नहीं है, क्योंकि प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन से सीधे होती है।