बीजगणित में समतुल्य समीकरणों को समझना

समतुल्य समीकरण समीकरणों की प्रणाली हैं जिनके समान समाधान हैं। समतुल्य समीकरणों की पहचान करना और उन्हें हल करना एक मूल्यवान कौशल है, न कि केवल अंदर बीजगणित वर्ग लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी में भी। समान समीकरणों के उदाहरणों पर एक नज़र डालें, उन्हें एक या एक से अधिक चर के लिए कैसे हल करें, और आप एक कक्षा के बाहर इस कौशल का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

चाबी छीन लेना

समतुल्य समीकरणों के सबसे सरल उदाहरणों में कोई चर नहीं है। उदाहरण के लिए, ये तीन समीकरण एक दूसरे के समतुल्य हैं:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

इन समीकरणों को मान्यता देना समतुल्य है, लेकिन विशेष रूप से उपयोगी नहीं है। आमतौर पर, समतुल्य समीकरण समस्या आपको चर के लिए हल करने के लिए कहती है यह देखने के लिए कि क्या यह समान है (समान है) जड़) दूसरे समीकरण में एक के रूप में।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण समतुल्य हैं:

• x = 5
• -2x = -10

दोनों मामलों में, x = 5। हम इसके बारे में कैसे जानते हैं? आप इसे "-2x = -10" समीकरण के लिए कैसे हल करते हैं? पहला कदम समान समीकरणों के नियमों को जानना है:

• जोड़ा जा रहा है या समीकरण के दोनों किनारों पर समान संख्या या अभिव्यक्ति को घटाना एक समान समीकरण बनाता है।
• एक ही गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा या विभाजित करना एक समान समीकरण पैदा करता है।
• समीकरण के दोनों किनारों को ऊपर उठाना वही विषम शक्ति या समान विषम रूट लेने से समतुल्य समीकरण उत्पन्न होगा।
• यदि किसी समीकरण के दोनों पक्ष गैर हैं-नकारात्मककिसी समीकरण के दोनों किनारों को समान शक्ति तक बढ़ा देना या समान रूट को समान समीकरण देना।

इन नियमों को व्यवहार में लाते हुए, यह निर्धारित करें कि क्या ये दो समीकरण बराबर हैं:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

इसे हल करने के लिए, आपको प्रत्येक के लिए "x" खोजने की आवश्यकता है समीकरण. यदि दोनों समीकरणों के लिए "x" समान है, तो वे समतुल्य हैं। यदि "x" अलग है (यानी, समीकरणों की जड़ें अलग हैं), तो समीकरण समतुल्य नहीं हैं। पहले समीकरण के लिए:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (समान संख्या से दोनों पक्षों को घटाना)
• x = 5

दूसरे समीकरण के लिए:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (समान संख्या द्वारा दोनों पक्षों को घटाते हुए)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (समीकरण के दोनों पक्षों को समान संख्या से विभाजित करना)
• x = 5

तो, हाँ, दो समीकरण बराबर हैं क्योंकि प्रत्येक मामले में x = 5।

आप दैनिक जीवन में समकक्ष समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। खरीदारी करते समय यह विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, आपको एक विशेष शर्ट पसंद है। एक कंपनी $ 6 के लिए शर्ट प्रदान करती है और $ 12 शिपिंग है, जबकि दूसरी कंपनी $ 7.50 के लिए शर्ट प्रदान करती है और $ 9 शिपिंग है। किस शर्ट की सबसे अच्छी कीमत है? कितने शर्ट (शायद आप उन्हें दोस्तों के लिए प्राप्त करना चाहते हैं) क्या आपको दोनों कंपनियों के लिए समान होने के लिए मूल्य खरीदना होगा?

इस समस्या को हल करने के लिए, "x" शर्ट की संख्या होने दें। शुरू करने के लिए, एक शर्ट की खरीद के लिए x = 1 सेट करें। कंपनी के लिए # 1:

• मूल्य = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

कंपनी # 2 के लिए:

• मूल्य = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = $ 16.50

इसलिए, यदि आप एक शर्ट खरीद रहे हैं, तो दूसरी कंपनी एक बेहतर सौदा प्रदान करती है।

उस बिंदु को खोजने के लिए जहां कीमतें समान हैं, "x" को शर्ट की संख्या रहने दें, लेकिन एक दूसरे के बराबर दो समीकरण सेट करें। "X" के लिए हल करें कि आपको कितने शर्ट खरीदने हैं:

• 6x + 12 = 7.5x + 9
• 6x - 7.5x = 9 - 12 (घटाने प्रत्येक पक्ष से समान संख्या या भाव)
• -1.5x = -3
• 1.5x = 3 (समान संख्या से दोनों पक्षों को विभाजित करते हुए, -1)
• x = 3 / 1.5 (दोनों पक्षों को 1.5 से विभाजित करना)
• x = 2

यदि आप दो शर्ट खरीदते हैं, तो कीमत समान है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कहाँ प्राप्त करते हैं। आप एक ही गणित का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि कौन सी कंपनी आपको बड़े ऑर्डर के साथ बेहतर सौदा देती है और यह भी गणना करने के लिए कि आप एक कंपनी को दूसरे पर उपयोग करने से कितनी बचत करेंगे। देखें, बीजगणित उपयोगी है!

यदि आपके पास दो समीकरण और दो अज्ञात (x और y) हैं, तो आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि रैखिक समीकरण के दो सेट बराबर हैं या नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण दिए गए हैं:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि निम्नलिखित प्रणाली समतुल्य है:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

सेवा इस समस्या को हल करें, समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली के लिए "x" और "y" खोजें। यदि मान समान हैं, तो समीकरणों के सिस्टम समतुल्य हैं।

पहले सेट से शुरुआत करें। दो को हल करने के लिए समीकरण दो के साथ चरएक चर को अलग करें और इसके समाधान को दूसरे समीकरण में प्लग करें। "Y" चर को अलग करने के लिए:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (दूसरे समीकरण में "x" के लिए प्लग)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

अब, "y" को "x" में हल करने के लिए समीकरण में वापस प्लग करें:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

इसके माध्यम से काम करते हुए, आप अंततः x = 7/3 प्राप्त करेंगे।

सवाल का जवाब देने के लिए, आप सकता है समीकरणों के दूसरे सेट में "x" और "y" को हल करने के लिए समान सिद्धांतों को लागू करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि वे वास्तव में बराबर हैं। बीजगणित में भाग लेना आसान है, इसलिए अपने काम का उपयोग करके जांचना एक अच्छा विचार है ऑनलाइन समीकरण सॉल्वर.

हालाँकि, होशियार छात्र नोटिस करेगा कि समीकरण के दो सेट बराबर हैं बिना किसी मुश्किल गणना के। प्रत्येक सेट में पहले समीकरण के बीच एकमात्र अंतर यह है कि पहला एक दूसरे से तीन गुना (बराबर) है। दूसरा समीकरण बिल्कुल वैसा ही है।