प्रायिकता क्या है?

गणित में एक रणनीति कुछ बयानों के साथ शुरू करना है, फिर इन बयानों से अधिक गणित का निर्माण करना है। शुरुआत के बयानों को स्वयंसिद्ध कहा जाता है। स्वयंसिद्ध आम तौर पर कुछ ऐसा होता है जो गणितीय रूप से स्व-स्पष्ट होता है। स्वयंसिद्धों की एक अपेक्षाकृत छोटी सूची से, अन्य विवरणों को सिद्ध करने के लिए निगमनात्मक तर्क का उपयोग किया जाता है, जिसे प्रमेय या प्रस्ताव कहा जाता है।

गणित का क्षेत्र जिसे संभाव्यता के रूप में जाना जाता है वह अलग नहीं है। संभाव्यता को तीन स्वयंसिद्धों तक कम किया जा सकता है। यह पहली बार गणितज्ञ आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा किया गया था। मुट्ठी भर स्वयंसिद्ध अंतर्निहित अंतर्निहित संभावना का उपयोग सभी को कम करने के लिए किया जा सकता है प्रकार परिणामों की। लेकिन ये संभावना स्वयंसिद्ध क्या हैं?

संभावना के लिए स्वयंसिद्धों को समझने के लिए, हमें पहले कुछ बुनियादी परिभाषाओं पर चर्चा करनी चाहिए। हम मानते हैं कि हमारे पास परिणामों का एक सेट है जिसे नमूना स्थान कहा जाता है एस यह नमूना स्थान उस स्थिति के लिए सार्वभौमिक सेट के रूप में सोचा जा सकता है जो हम पढ़ रहे हैं। नमूना स्थान में समसामयिकी शामिल है जिसे ईवेंट कहा जाता है इ₁, इ₂,..., इ_n.

हम यह भी मानते हैं कि किसी भी घटना के लिए संभावना को निर्दिष्ट करने का एक तरीका है इ. यह एक फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है जिसमें इनपुट के लिए एक सेट है, और ए वास्तविक संख्या एक आउटपुट के रूप में। की संभावना प्रतिस्पर्धाइ द्वारा निरूपित किया जाता है पी(इ).

संभाव्यता का पहला स्वयंसिद्ध यह है कि किसी भी घटना की संभावना एक वास्तविक संख्या है। इसका मतलब यह है कि एक संभावना जो सबसे छोटी हो सकती है वह शून्य है और यह अनंत नहीं हो सकती। संख्याओं का सेट जो हम उपयोग कर सकते हैं वे वास्तविक संख्याएं हैं। यह दोनों परिमेय संख्याओं को संदर्भित करता है, जिन्हें भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, और अपरिमेय संख्या जिसे अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

एक बात ध्यान देने योग्य है कि यह स्वयंसिद्ध कुछ भी नहीं कहता है कि किसी घटना की संभावना कितनी बड़ी हो सकती है। स्वयंसिद्ध नकारात्मक संभावनाओं की संभावना को समाप्त करता है। यह इस धारणा को दर्शाता है कि असंभव घटनाओं के लिए आरक्षित सबसे छोटी संभावना शून्य है।

संभावना का दूसरा स्वयंसिद्ध यह है कि पूरे नमूना स्थान की संभावना एक है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं पी(एस) = 1. इस स्वयंसिद्ध में निहितार्थ यह धारणा है कि नमूना स्थान हमारे संभाव्यता प्रयोग के लिए हर संभव है और नमूना स्थान के बाहर कोई घटना नहीं है।

अपने आप से, यह स्वयंसिद्ध उन घटनाओं की संभावनाओं पर एक ऊपरी सीमा निर्धारित नहीं करता है जो पूरे नमूना स्थान नहीं हैं। यह दर्शाता है कि पूर्ण निश्चितता के साथ किसी चीज की 100% संभावना है।

संभावना का तीसरा स्वयंसिद्ध परस्पर अनन्य घटनाओं से संबंधित है। अगर इ₁ तथा इ₂ कर रहे हैं परस्पर अनन्य, जिसका अर्थ है कि उनके पास एक खाली चौराहा है और हम यू का उपयोग संघ को निरूपित करने के लिए करते हैं पी(इ₁ यू इ₂ ) = पी(इ₁) + पी(इ₂).

स्वयंसिद्ध वास्तव में कई (यहां तक ​​कि अनंत) घटनाओं के साथ स्थिति को कवर करता है, जिनमें से प्रत्येक जोड़ी पारस्परिक रूप से अनन्य है। जब तक यह होता है, संघ की संभावना घटनाओं की संभावना के योग के रूप में ही है:

पी(इ₁ यू इ₂ यू.. यू इ_n ) = पी(इ₁) + पी(इ₂) +... + इ_n

हालाँकि यह तीसरा स्वयंसिद्ध उपयोगी नहीं दिखाई दे सकता है, हम देखेंगे कि अन्य दो स्वयंसिद्धों के साथ संयुक्त यह वास्तव में काफी शक्तिशाली है।

तीन स्वयंसिद्ध किसी भी घटना की संभावना के लिए एक ऊपरी सीमा निर्धारित करते हैं। हम घटना के पूरक को निरूपित करते हैं इ द्वारा इ^सी. सेट सिद्धांत से, इ तथा इ^सी एक खाली चौराहा है और पारस्परिक रूप से अनन्य हैं। और भी इ यू इ^सी = एस, संपूर्ण नमूना स्थान।

ये तथ्य, स्वयंसिद्धों के साथ मिलकर हमें देते हैं:

1 = पी(एस) = पी(इ यू इ^सी) = पी(इ) + पी(इ^सी) .

हम उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं और देखते हैं पी(इ) = 1 - पी(इ^सी). चूँकि हम जानते हैं कि संभाव्यताएं अप्रतिष्ठित होनी चाहिए, इसलिए अब हमारे पास यह है कि किसी भी घटना की संभावना के लिए एक ऊपरी सीमा 1 है।

सूत्र को फिर से व्यवस्थित करके हमारे पास है पी(इ^सी) = 1 - पी(इ). हम इस सूत्र से यह भी निकाल सकते हैं कि किसी घटना के घटित न होने की संभावना एक शून्य है जो कि घटित होती है।

उपरोक्त समीकरण हमें खाली सेट द्वारा निरूपित असंभव घटना की संभावना की गणना करने का एक तरीका भी प्रदान करता है। यह देखने के लिए, याद रखें कि खाली सेट इस मामले में सार्वभौमिक सेट का पूरक है एस^सी. चूँकि 1 = पी(एस) + पी(एस^सी) = 1 + पी(एस^सी), बीजगणित द्वारा हमारे पास है पी(एस^सी) = 0.

उपरोक्त गुणों के उदाहरणों के एक जोड़े हैं जो स्वयंसिद्ध से सीधे साबित हो सकते हैं। संभावना में कई और परिणाम हैं। लेकिन ये सभी प्रमेय संभावना के तीन स्वयंसिद्धों से तार्किक विस्तार हैं।