हम अपने गणित के कैरियर में काफी शुरुआती सीखते हैं कि द कारख़ाने का, गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए परिभाषित किया गया है n, बार-बार गुणा का वर्णन करने का एक तरीका है। इसे विस्मयादिबोधक चिह्न के उपयोग से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:
इस परिभाषा का अपवाद शून्य तथ्य है, जहां 0! = 1. जैसा कि हम गुट के लिए इन मूल्यों को देखते हैं, हम जोड़ी बना सकते हैं n साथ में n!. इससे हमें अंक (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), इत्यादि मिलेंगे। पर।
गामा फ़ंक्शन की परिभाषा बहुत जटिल है। इसमें एक जटिल दिखने वाला सूत्र शामिल है जो बहुत ही अजीब लगता है। गामा फ़ंक्शन अपनी परिभाषा में कुछ पथरी का उपयोग करता है, साथ ही साथ संख्या इ बहुपत्नी या त्रिकोणमितीय कार्यों जैसे अधिक परिचित कार्यों के विपरीत, गामा फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन के अनुचित अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।
गामा फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग कई पहचान को प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। इनमें से एक सबसे महत्वपूर्ण है कि Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). हम इसका उपयोग कर सकते हैं, और यह तथ्य कि प्रत्यक्ष गणना से Γ (1) = 1:
लेकिन हमें गामा फ़ंक्शन में केवल पूरे नंबर दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है। कोई भी जटिल संख्या जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, गामा फ़ंक्शन के डोमेन में है। इसका मतलब यह है कि हम nonnegative पूर्णांक के अलावा अन्य संख्या के लिए भाज्य का विस्तार कर सकते हैं। इन मूल्यों में से, सबसे प्रसिद्ध (और आश्चर्यजनक) परिणामों में से एक यह है कि 1/2 (1/2) = of।
एक और परिणाम जो पिछले एक के समान है, वह है 1/2 (1/2) = -2 to। दरअसल, गामा फ़ंक्शन हमेशा pi के कई वर्गमूल के आउटपुट का उत्पादन करता है जब फ़ंक्शन में 1/2 का एक विषम एकाधिक इनपुट होता है।
गामा समारोह कई में दिखाई देता है, प्रतीत होता है असंबंधित, गणित के क्षेत्र। विशेष रूप से, गामा फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किए गए तथ्य का सामान्यीकरण कुछ संयोजन और संभाव्यता समस्याओं में सहायक है। कुछ संभाव्यता वितरण गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में सीधे परिभाषित किए गए हैं। उदाहरण के लिए, गामा वितरण गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में कहा गया है। इस वितरण का उपयोग भूकंपों के बीच समय के अंतराल को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। छात्र का वितरण, जो डेटा के लिए उपयोग किया जा सकता है जहां हमारे पास एक अज्ञात जनसंख्या मानक विचलन है, और ची-स्क्वायर वितरण को गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में भी परिभाषित किया गया है।