सांख्यिकी में कर्टोसिस क्या है?

डेटा और प्रायिकता के वितरण सभी समान आकार नहीं हैं। कुछ असममित हैं और विषम बाईं ओर या दाईं ओर। अन्य वितरण हैं bimodal और दो चोटियाँ हैं। वितरण के बारे में बात करते समय विचार करने के लिए एक अन्य विशेषता यह है कि वितरण की पूंछों की आकृति दूर बाईं ओर और दाईं ओर है। कर्टोसिस एक वितरण की पूंछ की मोटाई या भारीपन का माप है। वितरण का कुर्त्य वर्गीकरण की तीन श्रेणियों में से एक में है:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

हम बदले में इनमें से प्रत्येक वर्गीकरण पर विचार करेंगे। इन श्रेणियों की हमारी परीक्षा उतनी सटीक नहीं होगी, जितनी कि अगर हम कुर्तोसिस की तकनीकी गणितीय परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं।

कर्टोसिस आमतौर पर के संबंध में मापा जाता है सामान्य वितरण. एक वितरण जिसमें पूंछ का आकार होता है, लगभग किसी भी सामान्य वितरण के समान, न केवल मानक सामान्य वितरण, को मेसोकोर्टिक कहा जाता है। एक मेसोकोर्टिक वितरण का कुर्टोसिस न तो अधिक है और न ही कम है, बल्कि इसे दो अन्य वर्गीकरणों के लिए आधार रेखा माना जाता है।

के अतिरिक्त सामान्य वितरण, जिसके लिए द्विपद वितरण पी को 1/2 के करीब माना जाता है।

एक लेप्टोकोर्टिक वितरण वह है जिसमें कर्टोसिस एक मेसोकोर्टिक वितरण से अधिक है। लेप्टोकोर्टिक वितरण को कभी-कभी चोटियों द्वारा पहचाना जाता है जो पतले और लंबे होते हैं। इन वितरणों की पूंछ दाईं और बाईं दोनों ओर मोटी और भारी होती हैं। लेप्टोकोर्टिक वितरण को उपसर्ग "लेप्टो" नाम दिया गया है जिसका अर्थ है "पतला।"

लेप्टोकोर्टिक वितरण के कई उदाहरण हैं। सबसे प्रसिद्ध लेप्टोकोर्टिक वितरण में से एक है छात्र का वितरण.

कुर्टोसिस के लिए तीसरा वर्गीकरण प्लैटीक्यूरिक है। प्लैटीक्यूरिक वितरण वे होते हैं जिनमें पतला पूंछ होती है। कई बार उनके पास मेसोकोर्टिक वितरण की तुलना में कम शिखर होता है। इस प्रकार के वितरणों का नाम उपसर्ग "प्लैटी" के अर्थ से आया है जिसका अर्थ है "व्यापक।"

सब वर्दी वितरण पठारी होते हैं। इसके अतिरिक्त, ए अलग एक सिक्के के एक ही पलटे से प्रायिकता का वितरण पठारीय है।

कुर्तोसिस के ये वर्गीकरण अभी भी कुछ व्यक्तिपरक और गुणात्मक हैं। हालांकि हम यह देख सकते हैं कि किसी वितरण में सामान्य वितरण की तुलना में अधिक मोटा है, अगर हम तुलना करने के लिए सामान्य वितरण का ग्राफ नहीं बनाते हैं तो क्या होगा? क्या होगा अगर हम यह कहना चाहते हैं कि एक वितरण दूसरे की तुलना में अधिक लेप्टोकोर्टिक है?

इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर देने के लिए हमें न केवल कर्टोसिस के गुणात्मक वर्णन की आवश्यकता है, बल्कि एक मात्रात्मक माप भी है। उपयोग किया गया सूत्र μ है₄/σ⁴ कहां₄ पियर्सन का चौथा है मतलब के बारे में पल और सिग्मा मानक विचलन है।

अब जब हमारे पास कुर्टोसिस की गणना करने का एक तरीका है, तो हम आकृतियों के बजाय प्राप्त मूल्यों की तुलना कर सकते हैं। सामान्य वितरण में तीन का कर्टोसिस पाया जाता है। यह अब मेसोक्यूरिक वितरण के लिए हमारा आधार बन गया है। तीन से अधिक कर्टोसिस के साथ एक वितरण लेप्टोकोर्टिक है और तीन से कम कुर्तोसिस के साथ एक वितरण प्लैटीक्यूरेटिक है।

चूँकि हम अपने अन्य वितरणों के लिए बेसलाइन के रूप में एक मेसोक्यूरिक वितरण का इलाज करते हैं, इसलिए हम कर्टोसिस के लिए अपनी मानक गणना से तीन घटा सकते हैं। सूत्र μ₄/σ⁴ - 3 अतिरिक्त कुर्तोसिस का सूत्र है। हम इसके अतिरिक्त कुर्तोसिस से वितरण को वर्गीकृत कर सकते हैं:

• मेसोक्यूरिक डिस्ट्रीब्यूशन में शून्य का अतिरिक्त कर्टोसिस है।
• प्लैटीयूरेटिक वितरण में नकारात्मक अतिरिक्त कुर्टोसिस है।
• लेप्टोकोर्टिक वितरण में सकारात्मक अतिरिक्त कुर्टोसिस है।

शब्द "कर्टोसिस" पहले या दूसरे पढ़ने पर अजीब लगता है। यह वास्तव में समझ में आता है, लेकिन हमें इसे पहचानने के लिए ग्रीक को जानना आवश्यक है। कर्टोसिस ग्रीक शब्द कुर्तोस के लिप्यंतरण से लिया गया है। इस ग्रीक शब्द का अर्थ "धनुषाकार" या "उभड़ा हुआ" है, जो इसे कर्टोसिस नामक अवधारणा का एक उपयुक्त विवरण बनाता है।